Verified answer

Ответ:

Метод математической индукции:

Для того, чтобы доказать, что некоторое утверждение верно при натуральном [tex]n[/tex] необходимо выполнить следующие условия:

База индукции:

• 1) Доказать, что утверждение верно при [tex]n = 1[/tex] (или для любого другого конкретного натруального [tex]p[/tex], тогда утверждение будет доказано от [tex]p[/tex] и до всех последюущих натуральных [tex]n[/tex] если удастся доказать индуктивный переход).

Индуктивный переход:

• 2) Сделать гипотезу, что утверждение верно для [tex]n = k[/tex] и на основании данной гипотезы доказать, что утверждение верно для [tex]n = k + 1[/tex]

Если выполнены утверждения 1) и 2), то исходное утверждение доказано для всех натуральных [tex]n[/tex]методом математической индукции.

1.111

1) способ решения

Воспользуемся методом математической индукции:

[tex]3^{n} > n^{3}; n \in \mathbb N; n\geq 4[/tex]

База индукции:

[tex]n = 4;[/tex]

[tex]3^{4} \lor 4^{3}[/tex]

[tex]81 > 64 \Longrightarrow \boxed{3^{4} > 4^{3}}[/tex] - верно

Индуктивный переход:

[tex]n = k;[/tex]

[tex]\boxed{3^{k} > k^{3}}[/tex] - верно

Необходимо доказать:

[tex]n = k + 1;[/tex]

[tex]3^{k + 1} > (k + 1)^{3}[/tex]

[tex]3^{k} \cdot 3^{1} > k^{3} + 3k^{2} + 3k + 1[/tex]

[tex]3 \cdot 3^{k} - k^{3} - 3k^{2} - 3k - 1 > 0[/tex]

[tex]2 \cdot 3^{k} + \underbrace{ 3^{k} - k^{3}}_{ > 0} - 3k^{2} - 3k - 1 > 0[/tex]

[tex]2 \cdot 3^{k} - 3k^{2} - 3k - 1 > 0[/tex]

Воспользуемся методом математической индукции:

[tex]2 \cdot 3^{k} - 3k^{2} - 3k - 1 > 0[/tex] при [tex]k \in \mathbb N; k \geq 4[/tex]

База индукции:

[tex]k = 4;[/tex]

[tex]2 \cdot 3^{4} - 3 \cdot 4^{2} - 3 \cdot 4 - 1 \lor 0[/tex]

[tex]2 \cdot 81 - 3 \cdot 16 - 12 - 1 \lor 0[/tex]

[tex]162 - 48 - 13 \lor 0[/tex]

[tex]101 > 0 \Longrightarrow \boxed{2 \cdot 3^{4} - 3 \cdot 4^{2} - 3 \cdot 4 - 1 \lor 0}[/tex] - верно

Индуктивный переход:

[tex]k = p;[/tex]

[tex]\boxed{2 \cdot 3^{p} - 3p^{2} - 3p - 1 > 0}[/tex] - пусть верно

Необходимо доказать:

[tex]k = p + 1;[/tex]

[tex]2 \cdot 3^{p + 1} - 3(p + 1)^{2} - 3(p + 1) - 1 > 0[/tex]

[tex]2 \cdot 3^{p} \cdot 3^{1} - 3(p^{2} + 2p + 1) - 3(p + 1) - 1 > 0[/tex]

[tex]2 \cdot 3^{p} \cdot 3^{1} - 3(p^{2} + 2p + 1) - 3(p + 1) - 1 > 0[/tex]

[tex]6 \cdot 3^{p} - (3p^{2} + 6p + 3) - (3p + 3) - 1 > 0[/tex]

[tex]6 \cdot 3^{p} - 3p^{2} - 6p - 3 - 3p - 3 - 1 > 0[/tex]

[tex]\underbrace{2 \cdot 3^{p} - 3p^{2} - 3p - 1}_{ > 0} + 4 \cdot 3^{p} - 6p - 3 - 3 > 0[/tex]

[tex]4 \cdot 3^{p} - 6p - 6 > 0|:2[/tex]

[tex]2 \cdot 3^{p} - 3p - 3 > 0[/tex]

Воспользуемся методом математической индукции:

[tex]2 \cdot 3^{p} - 3p - 3 > 0[/tex] при [tex]p \in \mathbb N; p \geq 4[/tex]

База индукции:

[tex]p = 4;[/tex]

[tex]2 \cdot 3^{4} - 3 \cdot 4 - 3 \lor 0[/tex]

[tex]162 - 12 - 3 \lor 0[/tex]

[tex]147 > 0 \Longrightarrow \boxed{2 \cdot 3^{4} - 3 \cdot 4 - 3 \lor 0}[/tex] - верно

Индуктивный переход:

[tex]p = m;[/tex]

[tex]\boxed{2 \cdot 3^{m} - 3m - 3 > 0}[/tex] - верно

Необходимо доказать:

[tex]p = m + 1[/tex]

[tex]2 \cdot 3^{m + 1} - 3(m + 1) - 3 > 0[/tex]

[tex]2 \cdot 3^{m} \cdot 3^{1} - (3m +3 ) - 3 > 0[/tex]

[tex]6 \cdot 3^{m} -3m -3 - 3 > 0[/tex]

[tex]\underbrace{ 2 \cdot 3^{m} -3m -3}_{ > 0} + 4 \cdot 3^{m} - 3 > 0[/tex]

[tex]4 \cdot 3^{m} - 3 > 0[/tex]

[tex]3^{m} + 3^{m} + 3^{m} + 3^{m} - 3 > 0[/tex]

Так как [tex]y = 3^{m}[/tex] - показательная функция, то [tex]3^{m} > 0[/tex] при [tex]m \in \mathbb N[/tex]

[tex]3^{m} - 3 > 0[/tex]

[tex]3^{m} > 3^{1} \Longleftrightarrow m > 1[/tex], а по условию минимальное [tex]m = 4[/tex], то есть неравенство выпоняется при любых [tex]m[/tex].

Так как верно [tex]3^{m} - 3 > 0[/tex], то вся предыдущая серия неравенств также верна и методом математической индукции доказано, что

[tex]\boxed{ 3^{n} > n^{3}}[/tex] при [tex]n \in \mathbb N; n\geq 4[/tex].