Verified answer

Ответ:

Метод математической индукции:

Для того, чтобы доказать, что некоторое утверждение верно при натуральном [tex]n[/tex] необходимо выполнить следующие условия:

База индукции:

• 1) Доказать, что утверждение верно при [tex]n = 1[/tex] (или для любого другого конкретного натруального [tex]p[/tex], тогда утверждение будет доказано от [tex]p[/tex] и до всех последюущих натуральных [tex]n[/tex] если удастся доказать индуктивный переход).

Индуктивный переход:

• 2) Сделать гипотезу, что утверждение верно для [tex]n = k[/tex] и на основании данной гипотезы доказать, что утверждение верно для [tex]n = k + 1[/tex]

Если выполнены утверждения 1) и 2), то исходное утверждение доказано для всех натуральных [tex]n[/tex]методом математической индукции.

1.103

Воспользуемся методом математической индукции:

[tex]1 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 4 + 3 \cdot 4 \cdot 5 + \ldots + n(n + 1)(n + 2) = \dfrac{n(n + 1)(n + 2)(n + 3)}{4}[/tex]

База индукции:

[tex]n = 1;[/tex]

[tex]1 \cdot 2 \cdot 3 = 6= \dfrac{1(1 + 1)(1 + 2)(1 + 3)}{4} = \dfrac{2 \cdot 3 \cdot 4}{4} = 2 \cdot 3 = 6[/tex] - верно

Индуктивный переход:

[tex]n = k;[/tex]

[tex]\boxed{1 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 4 + 3 \cdot 4 \cdot 5 + \ldots + k(k + 1)(k + 2) = \dfrac{k(k + 1)(k + 2)(k + 3)}{4}}[/tex]

(пусть верно)

Необходимо доказать:

[tex]n = k + 1;[/tex]

[tex]1 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 4 + 3 \cdot 4 \cdot 5 + \ldots + k(k + 1)(k + 2) +(k + 1)(k + 1 + 1)(k + 1 +2) =[/tex]

[tex]= \dfrac{( k + 1)(k + 1+ 1)(k + 1 + 2)(k + 1 + 3)}{4}[/tex]

[tex]\underbrace{ 1 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 4 + 3 \cdot 4 \cdot 5 + \ldots + k(k + 1)(k + 2)}_{ \dfrac{k(k + 1)(k + 2)(k + 3)}{4} } +(k + 1)(k + 2)(k + 3) =[/tex]

[tex]= \dfrac{( k + 1)(k +2)(k + 3)(k + 4)}{4}[/tex]

[tex]\dfrac{k(k + 1)(k + 2)(k + 3)}{4} + (k + 1)(k + 2)(k + 3) = \dfrac{( k + 1)(k +2)(k + 3)(k + 4)}{4}[/tex]

(разделим обе части на положительное число [tex]( k + 1)(k +2)(k + 3)[/tex])

[tex]\dfrac{k}{4} + 1 = \dfrac{(k + 4)}{4}[/tex]

[tex]\dfrac{k}{4} + \dfrac{4}{4} = \dfrac{k + 4}{4}[/tex]

[tex]\dfrac{k + 4}{4} = \dfrac{k + 4}{4}[/tex]

Так как правую и левую часть тождества

[tex]\dfrac{k(k + 1)(k + 2)(k + 3)}{4} + (k + 1)(k + 2)(k + 3) = \dfrac{( k + 1)(k +2)(k + 3)(k + 4)}{4}[/tex]

путем равносильных преобразований удалось свести к равному выражению [tex]\bigg ( \dfrac{k + 4}{4} = \dfrac{k + 4}{4} \bigg)[/tex], тогда первоначально утверждение доказано методом математической индукции.

1.104

Воспользуемся методом математической индукции:

[tex]\displaystyle \frac{1}{2} + \frac{3}{4} + \frac{5}{8} + \ldots + \frac{2n - 3}{2^{n - 1}} + \frac{2n - 1}{2^{n}} = 3 - \frac{2n + 3}{2^{n}}[/tex]

База индукции:

[tex]n = 1;[/tex]

[tex]\displaystyle \frac{1}{2} = 3 - \frac{2 \cdot 1 + 3}{2^{1}} = 3 - \frac{2 + 3}{2} = \frac{6}{2} - \frac{5}{2} = \frac{6 -5}{2} = \frac{1}{2}[/tex] - верно

Индуктивный переход:

[tex]n = k;[/tex]

[tex]\boxed{ \displaystyle \frac{1}{2} + \frac{3}{4} + \frac{5}{8} + \ldots + \frac{2k - 3}{2^{k - 1}} + \frac{2k - 1}{2^{k}} = 3 - \frac{2k + 3}{2^{k}}}[/tex] - пусть верно

Необходимо доказать:

[tex]n = k + 1;[/tex]

[tex]\displaystyle \frac{1}{2} + \frac{3}{4} + \frac{5}{8} + \ldots + \frac{2k - 3}{2^{k - 1}} + \frac{2k - 1}{2^{k}} + \frac{2(k + 1) - 1}{2^{k + 1}} = 3 - \frac{2(k + 1) + 3}{2^{k + 1}}[/tex]

[tex]\displaystyle \frac{1}{2} + \frac{3}{4} + \frac{5}{8} + \ldots + \frac{2k - 3}{2^{k - 1}} + \frac{2k - 1}{2^{k}} + \frac{2k + 2 - 1}{2^{k} \cdot 2^{1}} = 3 - \frac{2k + 2 + 3}{2^{k} \cdot 2^{1}}[/tex]

[tex]\displaystyle \underbrace{ \frac{1}{2} + \frac{3}{4} + \frac{5}{8} + \ldots + \frac{2k - 3}{2^{k - 1}} + \frac{2k - 1}{2^{k}}}_{\bigg 3 \bigg - \dfrac{2k + 3}{2^{k}}}} + \frac{2k + 1}{2 \cdot 2^{k }} = 3 - \frac{2k + 5}{2 \cdot 2^{k}}[/tex]

[tex]\displaystyle 3 - \frac{2k + 3}{2^{k}} + \frac{2k + 1}{2 \cdot 2^{k }} = 3 - \frac{2k + 5}{2 \cdot 2^{k}}[/tex]

[tex]\displaystyle \frac{2k + 5}{2 \cdot 2^{k}} + \frac{2k + 1}{2 \cdot 2^{k }} = \frac{2k + 3}{2^{k}}[/tex]

[tex]\displaystyle \frac{2k + 5 + 2k + 1}{2 \cdot 2^{k}} = \frac{2k + 3}{2^{k}}[/tex]

[tex]\displaystyle \frac{4k + 6 }{2 \cdot 2^{k}} = \frac{2k + 3}{2^{k}}[/tex]

[tex]\displaystyle \frac{2(2k + 3) }{2 \cdot 2^{k}} = \frac{2k + 3}{2^{k}}[/tex]

[tex]\displaystyle \frac{2k + 3}{2^{k}} = \frac{2k + 3}{2^{k}}[/tex]

Так как правую и левую часть тождества

[tex]\displaystyle 3 - \frac{2k + 3}{2^{k}} + \frac{2k + 1}{2 \cdot 2^{k }} = 3 - \frac{2k + 5}{2 \cdot 2^{k}}[/tex]

путем равносильных преобразований удалось свести к равному выражению [tex]\bigg ( \displaystyle \frac{2k + 3}{2^{k}} = \frac{2k + 3}{2^{k}}\bigg)[/tex], тогда первоначально утверждение доказанометодом математической индукции.