Verified answer

Ответ:

[tex]\boxed{\boldsymbol {S = \frac{2}{3} } }[/tex] квадратных единиц

Примечание:

Для вычисления двойного интеграла сведем его к повторному интегралу. Будем интегрировать по y, поэтому приведения в общем

виде к повторному интегралу двойного по области [tex]G[/tex] будет в виде:

[tex]\boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \iint_{G} f(x,y) \, dxdy = \int\limits^a_b \, dy \int\limits^{\xi_{2}(y)}_{\xi_{1}(y)} {f(x,y)} \, dx } }[/tex]

При этом функции [tex]\xi_{1} (y), \xi_{2} (y)[/tex] - функции ограничивающие область  слева и справа соответственно (смотрите рис(1)).

Объяснение:

По теореме площадь ограниченной области [tex]G[/tex] плоскости:

[tex]\boxed{ \boldsymbol{ S = S(G) =\displaystyle \iint_{G} \, dxdy }}[/tex]

Смотрите рис(2)

Область [tex]G:[/tex]

[tex]y^{2} = 2x \Longrightarrow x =0,5y^{2}[/tex]

[tex]x = y[/tex]

Найдем ординату пересечения графиков [tex]x =0,5y^{2}[/tex] и [tex]x = y[/tex]

[tex]0,5y^{2} = y|\cdot 2[/tex]

[tex]y^{2} = 2y[/tex]

[tex]y^{2} - 2y = 0[/tex]

[tex]y(y - 2) = 0[/tex]

[tex]y_{1} = 0[/tex] или [tex]y - 2 = 0[/tex]

[tex]y_{1} = 0[/tex] или [tex]y_{2} = 2[/tex]

Границы интегрирования: от 0 до 2

[tex]S =\displaystyle \iint_{G} \, dxdy = \int\limits^2_0 \, dy \int\limits^{y}_{0,5y^{2}} \, dx = \int\limits^2_0 \, \bigg ( \bigg x \bigg|_{0,5y^{2}}^{y} \bigg) dy = \int\limits^2_0 \, \bigg (y -0,5y^{2} \bigg) dy =[/tex]

[tex]\displaystyle = \bigg ( \frac{y^{2}}{2} - \frac{0,5y^{3}}{3} \bigg) \bigg |_{0}^{2} = \bigg (\frac{2^{2}}{2}- \frac{0,5 \cdot 2^{3}}{3} \bigg) - \bigg ( \frac{0^{2}}{2} - \frac{0,5 \cdot 0^{3}}{3} \bigg) = \bigg(\frac{4}{2} -\frac{4}{3} \bigg) =[/tex]

[tex]\displaystyle = \bigg(2 -\dfrac{4}{3} \bigg) = \dfrac{6 -4}{3} = \frac{2}{3}[/tex] квадратных единиц.