Verified answer

Ответ:

Метод математической индукции:

Для того, чтобы доказать, что некоторое утверждение верно при натуральном [tex]n[/tex] необходимо выполнить следующие условия:

База индукции:

• 1) Доказать, что утверждение верно при [tex]n = 1[/tex] (или для любого другого конкретного натруального [tex]p[/tex], тогда утверждение будет доказано от [tex]p[/tex] и до всех последюущих натуральных [tex]n[/tex] если удастся доказать индуктивный переход).

Индуктивный переход:

• 2) Сделать гипотезу, что утверждение верно для  и на основании данной гипотезы доказать, что утверждение верно для [tex]n = k + 1[/tex]

Если выполнены утверждения 1) и 2), то исходное утверждение доказано для всех натуральных методом математической индукции.

30.26

[tex]a_{1} = 1;a_{2} = 29[/tex]

[tex]a_{n + 2} = 7a_{n + 1} - 10a_{n}[/tex]

Доказать: [tex]a_{n} = 2^{n} + 5^{n}[/tex]

Воспользуемся методом математической индукции:

База индукции:

[tex]n = 1;[/tex]

[tex]a_{1} = 2^{1} + 5^{1} = 2 + 5 = 7[/tex] - верно

[tex]a_{2} = 2^{2} + 5^{2} = 4 + 25 = 29[/tex] - верно

Индуктивный переход:

[tex]n = k;[/tex]

[tex]a_{k} = 2^{k} + 5^{k}[/tex]

[tex]n = k + 1;[/tex]

[tex]a_{k + 1} = 2^{k + 1} + 5^{k + 1}[/tex]

-------------------------------

[tex]a_{k + 2} = 7a_{k + 1} - 10a_{k} = 7(2^{k + 1} + 5^{k + 1}) - 10(2^{k} + 5^{k}) =[/tex]

[tex]= 7(2^{k} \cdot 2^{1} + 5^{k} \cdot 5^{1}) - (10 \cdot 2^{k} + 10 \cdot 5^{k}) =[/tex]

[tex]= 7(2 \cdot 2^{k} + 5 \cdot 5^{k} ) - 10 \cdot 2^{k} - 10 \cdot 5^{k} = 14 \cdot 2^{k} + 35 \cdot 5^{k} - 10 \cdot 2^{k} - 10 \cdot 5^{k}=[/tex]

[tex]= 4 \cdot 2^{k} + 25 \cdot 5^{k} = 2^{2} \cdot 2^{k} + 5^{2} \cdot 5^{k} = 2^{k + 2} + 5^{k + 2}[/tex].

Так с помощью математической индукции мы получили выражение вида [tex]a_{n} = 2^{n} + 5^{n}[/tex] (выражение[tex]a_{k + 2} = 2^{k + 2} + 5^{k + 2}[/tex], которое различается только показателем n), то методом математической индукции доказано, что рекурентная последовательность выражается формулой [tex]a_{n} = 2^{n} + 5^{n}[/tex].

30.27

[tex]a_{1} = 4[/tex]

[tex]a_{n + 1} = 2a_{n} - 3[/tex]

Доказать: [tex]a_{n} = 2^{n - 1} + 3[/tex]

Воспользуемся методом математической индукции:

База индукции:

[tex]n = 1;[/tex]

[tex]a_{1} = 2^{1 - 1} + 3 = 2^{0} + 3 = 1 + 3 = 4[/tex] - верно

Индуктивный переход:

[tex]n = k;[/tex]

[tex]a_{k} = 2^{k - 1} + 3[/tex]

[tex]n = k + 1;[/tex]

[tex]a_{k + 1} = 2^{k + 1 - 1} + 3 = 2^{k} + 3[/tex] - предположение

----------------------------------------

[tex]a_{k + 1} = 2a_{k} - 3 = 2(2^{k - 1} + 3) - 3 =2 \cdot 2^{k - 1} + 2 \cdot 3 - 3 = 2^{k - 1 + 1} + 6 - 3 =[/tex]

[tex]= 2^{k } + 3[/tex]

Так как предполодежение при индуктивном переходе путем равносильных преобразований оказалалось верным, то методом математической индукции доказано, что рекурентная последовательность выражается формулой [tex]a_{n} = 2^{n - 1} + 3[/tex].