Verified answer

Ответ:

[tex]\boxed{ \boldsymbol{ S = \dfrac{3\pi + 6}{4}} }[/tex] квадратных единиц

Примечание:

Переход от декартовых координат к полярным в двойном интеграле можно осуществить с помощью якобиана перехода.

(в данном случае переход осуществляются для формулы вычисления площади в декартовой системе координат через двойной интеграл)

[tex]\boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \iint\limits_{G} \, dxdy = \iint\limits_{G} r \, drd\phi = \int\limits^{\beta }_{\alpha } \, d\phi \int\limits^{r_{2}(\phi)}_{r_{1}(\phi)} {r} \, dr}}[/tex]

Объяснение:

По теореме площадь ограниченной области [tex]G[/tex] плоскости:

[tex]\boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle S = S(G) = \iint\limits_{G} \, dxdy} }[/tex]

Область [tex]G:[/tex]

[tex]x^{2} + y^{2} = 2x[/tex]

[tex]x^{2} + y^{2} = 4x[/tex]

[tex]y = x[/tex]

[tex]y = 0[/tex]

Формула перехода от декартовых к полярным координатам:

[tex]\displaystyle \left \{ {{x = r \cos \phi} \atop {y = r \sin \phi}} \right.[/tex]

Запишем функции ограничивающие область [tex]G[/tex] в полярных координатах:

[tex]x^{2} + y^{2} = (r \cos \phi)^{2} + (r \sin \phi)^{2} = r^{2} \cos^{2} \phi + r^{2} \sin^{2} \phi = r^{2}(\cos^{2} \phi + \sin^{2} \phi)=r^{2}[/tex]

[tex]r^{2} = 4r \cos \phi \Longrightarrow \boxed{ r = 4 \cos \phi}[/tex]

[tex]r^{2} = 2r \cos \phi \Longrightarrow \boxed{ r = 2 \cos \phi}[/tex]

Прямая y = 0 образует с осью OX угол 0°.

Пусть [tex]\beta -[/tex] угол, который образует прямая y = x с осью OX.

Так как прямая [tex]y = x[/tex] является биссектрисой в декартовой системе координат, то она делит прямой угол первой и четвертой координатной четверти пополам, то есть [tex]\beta = 90^{\circ} : 2 = 45^{\circ} = \dfrac{\pi}{4}[/tex].

Таким образом интегрирование будет происходить от кривой [tex]2 \cos \phi[/tex] до кривой [tex]4 \cos \phi[/tex], а угол будет изменяться от 0 до 0,25π.

[tex]\displaystyle S = \int\limits^{ 0,25\pi} }_{0 } \, d\phi \int\limits^{4 \cos \phi}_{2 \cos \phi} {r} \, dr = \int\limits^{ 0,25\pi} }_{0 } \bigg(\frac{r^{2}}{2} \bigg|^{4 \cos \phi}_{2 \cos \phi} \bigg) \, d\phi = \frac{1}{2} \int\limits^{ 0,25\pi} }_{0 } \bigg( (4 \cos \phi)^{2} - (2 \cos \phi)^{2}\bigg) \, d\phi=[/tex]

[tex]\displaystyle = \frac{1}{2} \int\limits^{ 0,25\pi} }_{0 } \bigg( 16 \cos^{2} \phi - 4 \cos^{2} \phi\bigg) \, d\phi= \frac{1}{2} \int\limits^{ 0,25\pi} }_{0 } 12 \cos^{2} \phi \, d\phi =[/tex]

[tex]=\displaystyle 6\int\limits^{ 0,25\pi} }_{0 } \frac{1 + \cos 2\phi}{2} \, d\phi=3 \int\limits^{ 0,25\pi} }_{0 } (1 + \cos 2\phi) \, d\phi = 3 \Bigg( \int\limits^{ 0,25\pi} }_{0 } 1 \, d\phi +\int\limits^{ 0,25\pi} }_{0 } \cos 2\phi \, d\phi \Bigg )=[/tex]

[tex]\displaystyle = 3 \Bigg( \phi \bigg |^{ 0,25\pi} }_{0} + \frac{1}{2} \int\limits^{ 0,25\pi} }_{0 } \cos 2\phi \, d(2\phi) \Bigg )= 3 \Bigg(( 0,25\pi - 0) + \frac{1}{2} \cdot \sin2\phi \bigg| ^{ 0,25\pi} }_{0} \Bigg) =[/tex]

[tex]\displaystyle = 3 \Bigg( \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} \bigg( \sin \bigg(2 \cdot \frac{\pi}{4} \bigg) - \sin(2 \cdot 0) \bigg) \Bigg) = 3 \Bigg( \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} \bigg( \sin \bigg(\frac{\pi}{2} \bigg) - \sin( 0) \bigg) \Bigg) =[/tex]

[tex]\displaystyle= 3 \Bigg( \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} \bigg( 1 -0 \bigg ) \Bigg) = \frac{3\pi}{4} + \frac{3}{2} = \frac{3\pi + 6}{4}[/tex]квадратных единиц.