Verified answer

Ответ:

По определению:

Числовую последовательность [tex](a_{n})[/tex] называют ограниченной сверху, если существует такое число [tex]C[/tex], что для любого [tex]n \in \mathbb N[/tex] выполняется неравенство [tex]a_{n} \leq C[/tex].

(Определение через кванторы: [tex]\exists C \in X \forall n \in \mathbb N:x_{n} \leq C[/tex])

То есть необходимо найти такое число [tex]C[/tex], чтобы выполнялось неравенство [tex]a_{n} \leq C[/tex] и эти доказать, что последовательность ограниченна сверху.

32.8

1) [tex]a_{n} = 12 - n^{2}[/tex]

Проанализируем выражение [tex]12 - n^{2}[/tex]. От числа 12 отнимается какое-то целое положительное число и с увеличением [tex]n[/tex] это число возрастает. Тогда можно предположить, что число 12 удовлетворяет условию: [tex]a_{n} \leq C[/tex], где [tex]C = 12[/tex]. Докажем данное утверждение.

[tex]a_{n} \leq 12[/tex]

[tex]12 - n^{2} \leq 12[/tex]

[tex]n^{2} \geq 0[/tex] при [tex]n \in \mathbb N[/tex], то есть доказано, что последовательность [tex]a_{n}[/tex] является ограниченное сверху.

2) [tex]a_{n} = -n^{2} + 2n - 4[/tex]

Преобразуем последовательность:

[tex]a_{n} = -n^{2} + 2n - 4 = - (n^{2} - 2n + 4) = - (n^{2} - 2n + 1 + 3) =[/tex]

[tex]= -((n - 1)^{2} + 3) = -(n - 1)^{2} - 3[/tex]

Можно предположить, что максимальный элемент последовательности это первый, то есть

[tex]n = 1:a_{1} = -(1 - 1)^{2} - 3 = -0 -3 =-3[/tex]

Тогда можно предположить, что число -3 удовлетворяет условию: [tex]a_{n} \leq C[/tex], где [tex]C = -3[/tex]. Докажем данное утверждение.

[tex]a_{n} \leq -3[/tex]

[tex]-n^{2} + 2n - 4 \leq -3[/tex]

[tex]n^{2} -2n + 1 \geq 0[/tex]

[tex](n - 1)^{2} \geq 0[/tex] при [tex]n \in \mathbb N[/tex], то есть доказано, что последовательность [tex]a_{n}[/tex] является ограниченное сверху.

3) [tex]a_{n} = \dfrac{4n}{n^{2} + 1}[/tex]

Докажем, что последовательность [tex]a_{n}[/tex] является возрастающей, то есть верно утверждение, что  [tex]a_{n} < a_{n+ 1}[/tex] для [tex]n \in \mathbb N[/tex].

[tex]a_{n +1} = \dfrac{4(n + 1)}{(n + 1)^{2} + 1} = \dfrac{4(n + 1)}{n^{2} + 2n + 1 + 1} = \dfrac{4(n + 1)}{n^{2} + 2n + 2}[/tex]

[tex]a_{n} < a_{n+ 1}[/tex]

[tex]\dfrac{4n}{n^{2} + 1} < \dfrac{4(n + 1)}{n^{2} + 2n + 2} \bigg| \cdot (n^{2} + 1)(n^{2} + 2n + 2)[/tex]

[tex]4n(n^{2} + 2n + 2) < 4(n + 1)(n^{2} + 1)|:4[/tex]

[tex]n(n^{2} + 2n + 2) < (n + 1)(n^{2} + 1)[/tex]

[tex]n^{3} + 2n^{2} + 2n < n^{2} + n + n^{2} + 1[/tex]

[tex]n^{3} + 2n^{2} + 2n < 2n^{2} + n + 1[/tex]

[tex]n^{3} + n - 1 < 0[/tex] - данное неравенство свидетельствует о том, что гипотеза оказалась неверное. Модифицируем гипотезу и докажем, что последовательность является невозрастающей, то есть что

[tex]a_{n} \geq a_{n + 1}[/tex], что с учетом выше сделанных преобразований можно записать в виде неравенства [tex]n^{3} + n - 1 \geq 0[/tex], что нужно доказать.

Преобразуем полином [tex]n^{3} + n - 1:[/tex]

[tex]n^{3} + n - 1 = n^{3} - 1 + n = (n - 1)(n^{2} + n + 1) + n[/tex]

[tex]\underbrace{(n - 1)}_{\geq 0;n \in \mathbb N} \underbrace{ (n^{2} + n + 1)}_{\geq 0;n \in \mathbb N} + \underbrace{n}_{\geq 0;n \in \mathbb N} \geq 0[/tex]

То есть доказано, что последовательность [tex]a_{n}[/tex] является невозрастающей.

Найдем первый элемент последовательности [tex]a_{n}[/tex].

[tex]n = 1: a_{1} = \dfrac{4 \cdot 1}{1^{2} + 1} = \dfrac{4}{1 +1} = \dfrac{4}{2} = 2[/tex].

То есть так как последовательность является невозрастающей,

то можно сделать гипотезу, что что число 2 удовлетворяет условию: [tex]a_{n} \leq C[/tex], где [tex]C = 2[/tex]. Докажем данное утверждение.

[tex]a_{n} \leq 2[/tex]

[tex]\dfrac{4n}{n^{2} + 1} \leq 2[/tex]

[tex]\dfrac{4n}{n^{2} + 1} \leq 2 | \cdot (n^{2} + 1)[/tex]

[tex]4n \leq 2n^{2} + 2|:2[/tex]

[tex]2n \leq n^{2} + 1[/tex]

[tex]n^{2} - 2n + 1 \geq 0[/tex]

[tex](n - 1)^{2} \geq 0[/tex] при [tex]n \in \mathbb N[/tex], то есть доказано, что последовательность [tex]a_{n}[/tex] является ограниченное сверху.

4) [tex]a_{n} = \dfrac{2n + 7}{n +2}[/tex]

Преобразуем последовательность [tex]a_{n}[/tex]:

[tex]a_{n} = \dfrac{2n + 7}{n +2} = \dfrac{\dfrac{2n + 7}{n} }{\dfrac{n +2}{n} } = \dfrac{\dfrac{2n }{n} + \dfrac{7}{n} }{\dfrac{n }{n} + \dfrac{2}{n} } = \dfrac{2 + \dfrac{7}{n} }{1 + \dfrac{2}{n} }[/tex]

С увеличением числа [tex]n[/tex] дроби [tex]\dfrac{7}{n}[/tex] и [tex]\dfrac{2}{n}[/tex]  уменьшаются, так как [tex]n[/tex] стоит в знаменателе, тогда можно предположить, что число [tex]a_{1}[/tex] удовлетворяет условию: [tex]a_{n} \leq C[/tex], где [tex]C = a_{1}[/tex]. Докажем данное утверждение.

[tex]n = 1:a_{1} = \dfrac{2 \cdot 1 + 7}{1 +2} = \dfrac{2 + 7}{3} = \dfrac{9}{3} = 3[/tex]

[tex]a_{n} \leq 3[/tex]

[tex]\dfrac{2n + 7}{n +2} \leq 3 | \cdot (n + 2)[/tex]

[tex]2n + 7 \leq 3(n + 2)[/tex]

[tex]2n + 7 \leq 3n + 6[/tex]

[tex]n - 1 \geq 0[/tex]

[tex]n \geq 1[/tex] при [tex]n \in \mathbb N[/tex], то есть доказано, что последовательность [tex]a_{n}[/tex] является ограниченное сверху.

Продолжение решения смотрите на фотографиях!!!