Verified answer

Ответ:

а) [tex]\boxed{ \boldsymbol{ \Delta = -31 } }[/tex]

б) [tex]\boxed{ \boldsymbol{ \Delta = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 1} }[/tex]

Примечание:

Теорема о разложении или теорема Лапласа:

Значение определителя матрицы равно сумме произведений элементов некоторой строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Минором элемента [tex]a_{ij}[/tex] определителя порядка [tex]n[/tex] называется определитель порядка [tex](n - 1)[/tex], полученного из данного вычеркиванием [tex]i[/tex]-й строки и [tex]j[/tex]-го столбца и обозначается в виде [tex]M_{ij}[/tex].

Алгебраическим дополнением элемента [tex]a_{ij}[/tex] называют число:

[tex]A_{ij} = (-1)^{i + j} \cdot M_{ij}[/tex]

Определитель матрицы не меняется при элементарном преобразовании матрицы.

[tex]r_{n}[/tex] - строка с номером n

[tex]c_{n}[/tex] - столбец с номером n

Объяснение:

22.

а)

[tex]\begin{vmatrix} -1 & 2 & 0 \\ 3 & 1 & 4 \\ 2 & -3 & 5 \end{vmatrix} c_{2} + 2c_{1} = \begin{vmatrix} -1 & 2 + 2 \cdot (-1) & 0 \\ 3 & 1 + 2 \cdot 3& 4 \\ 2 & -3+ 2 \cdot2 & 5 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 3 & 7& 4 \\ 2 & 1 & 5 \end{vmatrix}=[/tex]

[tex]= a_{11} \cdot A_{11} + a_{12} \cdot A_{12} + a_{13} \cdot A_{13} = -1 \cdot A_{11} + 0 \cdot A_{12} + 0 \cdot A_{13} = -1 \cdot A_{11} =[/tex]

[tex]= -1 \cdot (-1)^{1 + 1} \begin{vmatrix} 7 & 4 \\ 1 & 5 \end{vmatrix} = - (7 \cdot 5 - 1 \cdot 4) = -(35 - 4) =-31[/tex]

б)

[tex]\begin{vmatrix} a^{2} + 1 & ab & ac \\ ab & b^{2} + 1 & bc \\ ac & bc & c^{2} + 1 \end{vmatrix} = a_{11} \cdot A_{11} + a_{12} \cdot A_{12} + a_{13} \cdot A_{13} =[/tex]

[tex]= (a^{2} + 1) \cdot (-1)^{1 + 1} \begin{vmatrix} b^{2} + 1 & bc \\ bc & c^{2} + 1 \end{vmatrix} + ab \cdot (-1)^{1 + 2} \begin{vmatrix} ab & bc \\ ac & c^{2} + 1 \end{vmatrix} +[/tex]

[tex]+ac \cdot (-1)^{1 + 3} \begin{vmatrix} ab & b^{2} + 1 \\ ac & bc \end{vmatrix} = (a^{2} + 1)\begin{vmatrix} b^{2} + 1 & bc \\ bc & c^{2} + 1 \end{vmatrix} - ab\begin{vmatrix} ab & bc \\ ac & c^{2} + 1 \end{vmatrix} + ac\begin{vmatrix} ab & b^{2} + 1 \\ ac & bc \end{vmatrix}=[/tex]

1)

[tex](a^{2} + 1)\begin{vmatrix} b^{2} + 1 & bc \\ bc & c^{2} + 1 \end{vmatrix} = (a^{2} + 1)((b^{2} + 1)(c^{2} + 1) - b^{2}c^{2}) =[/tex]

[tex]= (a^{2} + 1)(b^{2}c^{2} + b^{2} + c^{2} + 1 - b^{2}c^{2}) = (a^{2} + 1)(b^{2} + c^{2} + 1) =[/tex]

[tex]= (a^{2} + 1)(b^{2} + c^{2} + 1) = a^{2}b^{2} + a^{2}c^{2} + a^{2} + b^{2} + c^{2} + 1[/tex]

2)

[tex]ab\begin{vmatrix} ab & bc \\ ac & c^{2} + 1 \end{vmatrix} = ab(ab(c^{2} + 1) - abc^{2}) =ab(abc^{2} + ab - abc^{2}) = a^{2}b^{2}[/tex]

3)

[tex]ac\begin{vmatrix} ab & b^{2} + 1 \\ ac & bc \end{vmatrix}= ac(ab^{2}c - ac(b^{2} + 1)) = ac(ab^{2}c - ab^{2}c - ac) = -a^{2}c^{2}[/tex]

[tex]= (a^{2} + 1)\begin{vmatrix} b^{2} + 1 & bc \\ bc & c^{2} + 1 \end{vmatrix} - ab\begin{vmatrix} ab & bc \\ ac & c^{2} + 1 \end{vmatrix} + ac\begin{vmatrix} ab & b^{2} + 1 \\ ac & bc \end{vmatrix}=[/tex]

[tex]= a^{2}b^{2} + a^{2}c^{2} + a^{2} + b^{2} + c^{2} + 1 - a^{2}b^{2} - a^{2}c^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 1[/tex]