Verified answer

Ответ:

[tex]\boxed{ \boldsymbol{ V = \dfrac{1}{6} } }[/tex] кубических единиц

Примечание:

[tex]\boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle V = \iint\limits_{G} f(x,y) \, dxdy }}[/tex] - объем цилиндрического тела с образующими, параллельными оси [tex]OZ[/tex] ограниченное снизу областью [tex]G[/tex], а сверху поверхностью [tex]z = f(x,y) \geq 0[/tex]. Данное определение показывает геометрический смысл двойного интеграла.

Для вычисления двойного интеграла сведем его к повторному интегралу. Будем интегрировать по x, поэтому приведения в общем

виде к повторному интегралу двойного по области [tex]G[/tex] будет в виде:

[tex]\boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \iint\limits_{G} f(x,y) \, dxdy = \int\limits^a_b \, dx \int\limits^{\phi_{2}(x)}_{\phi_{1}(x)} {f(x,y)} \, dy } }[/tex]

При этом функции [tex]\phi_{1} (x), \phi_{2} (x)[/tex] - функции ограничивающие область [tex]G[/tex]  снизу и сверху соответственно.

Объяснение:

Область [tex]T \ (XYZ)[/tex] ограниченна поверхностями :

[tex]z = x^{2} + y^{2}[/tex]

[tex]z = 0[/tex]

[tex]x = 0[/tex]

[tex]y = 0[/tex]

[tex]x + y = 1 \Longleftrightarrow y = 1 - x[/tex]

Область [tex]G \ (XY):[/tex]

Пересечения плоскости [tex]z = 0[/tex] и плоскости x + y = 1 это кривая [tex]y = 1- x[/tex] в плоскости [tex]z[/tex].

Таким образом область [tex]G[/tex] ограниченна прямой [tex]y = 1- x[/tex], а также прямыми [tex]x = 0[/tex], [tex]y = 0[/tex].

Найдем абсциссу пересечения прямых [tex]y = 0[/tex] и [tex]y = 1- x[/tex].

[tex]0 = 1 - x \Longrightarrow x = 1[/tex]

Границы интегрирования: от 0 до 1

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

[tex]V= \displaystyle \iint\limits_{G} f(x,y) \, dxdy = \int\limits^{1}_{0} \, dx \int\limits^{1 - x}_{0} {(x^{2} + y^{2})} \, dy =\int\limits^{1}_{0} \bigg( \bigg(yx^{2} + \frac{y^{3}}{3} \bigg)\bigg |^{1 -x}_{0} \bigg) \, dx=[/tex]

[tex]\displaystyle = \int\limits^{1}_{0} \bigg( \bigg( (1 -x)x^{2} + \frac{(1 -x)^{3}}{3} \bigg) - \bigg( 0\cdot x^{2} + \frac{(0 )^{3}}{3} \bigg) \bigg) \, dx =[/tex]

[tex]\displaystyle = \int\limits^{1}_{0} \bigg( (1 -x)x^{2} + \frac{(1 -x)^{3}}{3} \bigg) \, dx = \int\limits^{1}_{0} \bigg( x^{2} - x^{3} \bigg) \, dx - \int\limits^{1}_{0} \bigg( \frac{(1 -x)^{3}}{3} \bigg) \, d(1 -x) =[/tex]

[tex]\displaystyle = \Bigg( \bigg( \frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{4}}{4} \bigg) \bigg |^{1}_{0} \Bigg) - \Bigg( \bigg( \frac{(1 - x)^{4}}{3 \cdot 4} \bigg)\bigg |^{1}_{0} \Bigg) =[/tex]

[tex]\displaystyle = \Bigg( \bigg( \frac{1^{3}}{3} - \frac{1^{4}}{4} \bigg) - \bigg( \frac{0^{3}}{3} - \frac{0^{4}}{4} \bigg) \Bigg) - \Bigg( \bigg( \frac{(1 - 1)^{4}}{12} \bigg)- \bigg( \frac{(1 - 0)^{4}}{12} \bigg) \Bigg) =[/tex]

[tex]\displaystyle = \bigg(\frac{1}{3} - \frac{1}{4} \bigg) - \bigg(0 - \frac{1}{12} \bigg) = \frac{4 - 3 +1}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}[/tex] кубических единиц.