Verified answer

Ответ:

Примечание:

[tex]\sqrt{2} \approx 1,4[/tex]

Метод математической индукции:

Для того, чтобы доказать, что некоторое утверждение верно при натуральном [tex]n[/tex] необходимо выполнить следующие условия:

База индукции:

• 1) Доказать, что утверждение верно при [tex]n = 1[/tex]

Индуктивный переход:

• 2) Сделать гипотезу, что утверждение верно для [tex]n = k[/tex] и на основании данной гипотезы доказать, что утверждение верно для [tex]n = k + 1[/tex]

Если выполнены утверждения 1) и 2), то исходное утверждение доказано для всех натуральных  методом математической индукции.

22.20

Воспользуемся методом математической индукции:

[tex]\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1} } + \frac{1}{\sqrt{2} } + \frac{1}{\sqrt{3} } + \ldots + \frac{1}{\sqrt{n} } > 2\sqrt{ n + 1} - 2; n \in \mathbb N[/tex]

База индукции:

[tex]n = 1;[/tex]

а) [tex]\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1} } = \frac{1}{1} = 1[/tex]

б) [tex]\displaystyle 2\sqrt{ 1 + 1} - 2 = 2\sqrt{2} - 2 = 2(\sqrt{2} -1) \approx 2(1,4 - 1) = 2\cdot 0,4 = 0,8[/tex]

[tex]\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1} } \lor 2\sqrt{1 + 1} - 2[/tex]

[tex]1 \lor 0,8[/tex]

[tex]1 > 0,8 \Longrightarrow \boxed{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1} } > 2\sqrt{1 + 1} - 2}[/tex] - верно

Индуктивный переход:

[tex]n = k;[/tex]

[tex]\boxed{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1} } + \frac{1}{\sqrt{2} } + \frac{1}{\sqrt{3} } + \ldots + \frac{1}{\sqrt{k} } > 2\sqrt{k + 1} - 2}[/tex] - пусть верно

[tex]\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1} } + \frac{1}{\sqrt{2} } + \frac{1}{\sqrt{3} } + \ldots + \frac{1}{\sqrt{k} } + 2 > 2\sqrt{k + 1}[/tex]

Необходимо доказать:

[tex]n = k + 1;[/tex]

[tex]\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1} } + \frac{1}{\sqrt{2} } + \frac{1}{\sqrt{3} } + \ldots + \frac{1}{\sqrt{k} } + \frac{1}{\sqrt{k + 1} } > 2\sqrt{k + 1 + 1} - 2[/tex]

[tex]\displaystyle \underbrace{ \frac{1}{\sqrt{1} } + \frac{1}{\sqrt{2} } + \frac{1}{\sqrt{3} } + \ldots + \frac{1}{\sqrt{k} } + 2}_{ > 2\sqrt{k + 1}} + \frac{1}{\sqrt{k + 1} } - 2\sqrt{k + 2} > 0[/tex]

[tex]\displaystyle 2\sqrt{k + 1} +\frac{1}{\sqrt{k + 1} } - 2\sqrt{k + 2} > 0 \bigg | \cdot \sqrt{k + 1}[/tex]

[tex]2(k + 1) + 1 - 2\sqrt{(k + 1)(k + 2)} > 0[/tex]

[tex]2k + 2 + 1 > 2\sqrt{(k + 1)(k + 2)}[/tex]

[tex](2k + 3)^{2} > (2\sqrt{(k + 1)(k + 2)})^{2}[/tex]

[tex]4k^{2} + 12k + 9 > 4(k + 1)(k + 2)[/tex]

[tex]4k^{2} + 12k + 9 > 4(k^{2} + 2k + k + 2)[/tex]

[tex]4k^{2} + 12k + 9 > 4(k^{2} + 3k + 2)[/tex]

[tex]4k^{2} + 12k + 9 > 4k^{2} + 12k + 8[/tex]

[tex]9 > 8[/tex]

Утверждение для [tex]n = k + 1[/tex] верно, тогда методом математической индукции доказано, что [tex]\boxed{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1} } + \frac{1}{\sqrt{2} } + \frac{1}{\sqrt{3} } + \ldots + \frac{1}{\sqrt{n} } > 2\sqrt{ n + 1} - 2}[/tex] при  [tex]n \in \mathbb N[/tex].

22.21

Воспользуемся методом математической индукции:

[tex]\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1} } + \frac{1}{\sqrt{2} } + \frac{1}{\sqrt{3} } + \ldots + \frac{1}{\sqrt{n} } < 2\sqrt{n} ; n \in \mathbb N[/tex]

База индукции:

[tex]n = 1;[/tex]

а) [tex]\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1} } = \frac{1}{1} = 1[/tex]

[tex]\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1} } < 2\sqrt{1}[/tex]

[tex]1 \lor 2\sqrt{1}[/tex]

[tex]1 \lor 2 \cdot 1[/tex]

[tex]1 < 2 \Longrightarrow \boxed{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1} } < 2\sqrt{1}}[/tex] - верно

Индуктивный переход:

[tex]n = k;[/tex]

[tex]\boxed{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1} } + \frac{1}{\sqrt{2} } + \frac{1}{\sqrt{3} } + \ldots + \frac{1}{\sqrt{k} } < 2\sqrt{k}}[/tex] - пусть верно

Необходимо доказать:

[tex]n = k + 1;[/tex]

[tex]\displaystyle \underbrace{ \frac{1}{\sqrt{1} } + \frac{1}{\sqrt{2} } + \frac{1}{\sqrt{3} } + \ldots + \frac{1}{\sqrt{k} }}_{2\sqrt{k}} + \frac{1}{\sqrt{k + 1} } < 2\sqrt{k + 1}[/tex]

[tex]\displaystyle 2\sqrt{k} + \frac{1}{\sqrt{k + 1} } < 2\sqrt{k + 1} \bigg | \cdot \sqrt{k + 1}[/tex]

[tex]2\sqrt{k(k + 1)} + 1 < 2(k + 1)[/tex]

[tex]2\sqrt{k(k + 1)} + 1 < 2k + 2[/tex]

[tex](2\sqrt{k(k + 1)})^{2} < (2k + 1)^{2}[/tex]

[tex]4k(k + 1) < 4k^{2} + 4k + 1[/tex]

[tex]4k^{2} + 4k < 4k^{2} + 4k + 1[/tex]

[tex]0 < 1[/tex]

Утверждение для [tex]n = k + 1[/tex] верно, тогда методом математической индукции доказано, что [tex]\boxed{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1} } + \frac{1}{\sqrt{2} } + \frac{1}{\sqrt{3} } + \ldots + \frac{1}{\sqrt{n} } < 2\sqrt{n}}[/tex] при  [tex]n \in \mathbb N[/tex].