Verified answer

Ответ:

[tex]\boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \iint_{D} {\bigg(x^{3} + y^{3} \bigg)} \, dxdy = 150,4 } }[/tex]

Примечание:

Для вычисления двойного интеграла сведем его к повторному интегралу. Будем интегрировать по x, поэтому приведения в общем

виде к повторному интегралу двойного по области [tex]G[/tex] будет в виде:

[tex]\boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \iint_{G} f(x,y) \, dxdy = \int\limits^a_b \, dx \int\limits^{\phi_{2}(x)}_{\phi_{1}(x)} {f(x,y)} \, dy } }[/tex]

При этом функции [tex]\phi_{1} (x), \phi_{2} (x)[/tex] - функции ограничивающие область [tex]G[/tex] снизу и сверху соответственно (смотрите рис(1)).

Объяснение:

Смотрите рис(2)

Область [tex]D:[/tex]

[tex]x - 2y = 0; y = 0,5x[/tex]

[tex]x - y = 0; y = x[/tex]

[tex]x = 4;[/tex]

Найдем абсциссу пересечения графиков [tex]y = x[/tex] и [tex]y = 0,5x[/tex]

[tex]x = 0,5x[/tex]

[tex]0,5x = 0 \Longrightarrow x = 0[/tex]

Границы интегрирования: от 0 до 4

[tex]\displaystyle \iint_{D} {\bigg(x^{3} + y^{3} \bigg)} \, dxdy = \int\limits^{4}_{0} \, dx \int\limits^{x}_{0,5x} {\bigg(x^{3} + y^{3} \bigg)} \, dy = \int\limits^{4}_{0} \, dx \bigg ( \bigg ( yx^{3} + \dfrac{y^{4}}{4} \bigg)\bigg |_{0,5x}^{x} \bigg) =[/tex]

[tex]\displaystyle = \int\limits^{4}_{0} \, dx \bigg ( \bigg ( yx^{3} + \dfrac{y^{4}}{4} \bigg)\bigg |_{0,5x}^{x} \bigg) = \int\limits^{4}_{0} \bigg ( \bigg (x \cdot x^{3} + \frac{x^{4}}{4} \bigg ) -\bigg(0,5x \cdot x^{3} + \frac{(0,5x)^{4}}{4} \bigg) \bigg) \, dx =[/tex]

[tex]\displaystyle = \int\limits^{4}_{0} \bigg ( x^{4} + 0,25x^{4} - 0,5 x^{4} - 0,015625x^{4} \bigg) \, dx = \int\limits^{4}_{0} 0,734375 x^{4} \, dx =[/tex]

[tex]\displaystyle = 0,734375 \int\limits^{4}_{0} x^{4} \, dx = 0,734375 \cdot \frac{x^{5}}{5} \bigg|_0^4 = 0,146875 \bigg (4^{5} - 0^{5} \bigg ) = 0,146875 \cdot 1024=[/tex]

[tex]= 150,4[/tex]