Verified answer

Ответ:

[tex]\boxed{\boldsymbol{ \displaystyle \int\limits^{+\infty}_{2/\pi} {\frac{1}{x^{2} } \sin \frac{1}{x} } \, dx = 1}}[/tex]

Объяснение:

[tex]\displaystyle \int\limits^{+\infty}_{2/\pi} {\frac{1}{x^{2} } \sin \frac{1}{x} } \, dx[/tex] - несобственный интеграл 1 рода

Если существует предел существует конечный предел у несобственного интеграла, то данный интеграл является сходящимся.

Рассмотрим неопределенный интеграл [tex]\displaystyle \int {\frac{1}{x^{2} } \sin \frac{1}{x} } \, dx[/tex].

[tex]\displaystyle \int {\frac{1}{x^{2} } \sin \frac{1}{x} } \, dx = -\int {-\frac{1}{x^{2} } \sin \frac{1}{x} } \, dx =[/tex]

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

Замена: [tex]\dfrac{1}{x} = t \Longrightarrow dt = \bigg(\dfrac{1}{x} \bigg)' \ dx = -\dfrac{1}{x^{2} } \ dx[/tex]

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

[tex]\displaystyle = -\int { \sin t } \, dt = \cos t + C = \cos\bigg(\frac{1}{x} \bigg) + C[/tex]

Для вычисления несобственного 1 рода воспользуемся двойной несобственной подстановкой:

[tex]\displaystyle \int\limits^{+\infty}_{2/\pi} {\frac{1}{x^{2} } \sin \frac{1}{x} } \, dx = \cos\bigg(\frac{1}{x} \bigg) \Bigg |^{+\infty}_{2/\pi} = \lim_{x \to \infty} \cos\bigg(\frac{1}{x} \bigg) - \cos\bigg( \dfrac{1}{2 / \pi } \bigg) =[/tex]

[tex]= \cos 0 - \cos \dfrac{\pi}{2} = 1 - 0 =1[/tex]