Verified answer

Ответ:

а) [tex]\boxed{\boldsymbol{ x = \dfrac{\pi n}{3} , n \in \mathbb Z } }[/tex]

б) [tex]\boxed{\boldsymbol{ x_{1} = 2;x_{2} = -10 } }[/tex]

в) [tex]\boxed{\boldsymbol{ x = -4 } }[/tex]

Примечание:

Формула для вычисления определителя матрицы A размером 2 на 2 в общем виде:

[tex]A = \begin{pmatrix} a_{1} & a_{2} \\ a_{3} & a_{4} \end{pmatrix}[/tex]

[tex]\boxed{ з = \left|\begin{array}{ccc} a_{1} & a_{2} \\a_{3} &a_{4}\end{array}\right| = a_{1}a_{4} - a_{3}a_{2}}[/tex] - определитель матрицы

Теорема о разложении или теорема Лапласа:

Значение определителя матрицы равно сумме произведений элементов некоторой строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Минором элемента [tex]a_{ij}[/tex] определителя порядка [tex]n[/tex] называется определитель порядка [tex](n - 1)[/tex], полученного из данного вычеркиванием [tex]i[/tex]-й строки и [tex]j[/tex]-го столбца и обозначается в виде [tex]M_{ij}[/tex].

Алгебраическим дополнением элемента [tex]a_{ij}[/tex] называют число:

[tex]A_{ij} = (-1)^{i + j} \cdot M_{ij}[/tex]

------------------------------------------------------------------------------------------------------Будем рассматривать элементы матрицы в общем виде в записи:

[tex]\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} &a_{13} \\ a_{21}& a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}[/tex]

Объяснение:

а)

[tex]\begin{vmatrix} \sin 8x & \sin 5x \\ \cos 8x & \cos 5x \end{vmatrix} = 0[/tex]

[tex]\sin 8x \cos 5x - \cos 8x \sin 5x = 0[/tex]

[tex]\sin (8x - 5x) = 0[/tex]

[tex]\sin 3x = 0[/tex]

[tex]3x = \pi n, n \in \mathbb Z \ |:3[/tex]

[tex]x = \dfrac{\pi n}{3} , n \in \mathbb Z[/tex]

б)

[tex]\begin{vmatrix} 3 & x & -4 \\ 2 & -1 & 3 \\ x + 10 & 1 & 1 \end{vmatrix} =0[/tex]

Вычислим определитель данной матрицы по 2 строке:

[tex]\begin{vmatrix} 3 & x & -4 \\ 2 & -1 & 3 \\ x + 10 & 1 & 1 \end{vmatrix} = a_{21} \cdot A_{21} + a_{22} \cdot A_{22} + a_{23} \cdot A_{23} =[/tex]

[tex]= 2 \cdot (-1)^{2 + 1} \begin{vmatrix} x & -4 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} + (-1) \cdot (-1)^{2 + 2} \begin{vmatrix} 3 & -4 \\ x + 10 & 1 \end{vmatrix} + 3 \cdot (-1)^{2 + 3} \begin{vmatrix} 3 & x \\ x + 10 & 1 \end{vmatrix} =[/tex]

[tex]= -2 \begin{vmatrix} x & -4 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} -\begin{vmatrix} 3 & -4 \\ x + 10 & 1 \end{vmatrix} -3 \begin{vmatrix} 3 & x \\ x + 10 & 1 \end{vmatrix} =[/tex]

[tex]= -2(x + 4) - (3 + 4(x + 10)) -3(3 - x(x + 10)) =[/tex]

[tex]= -2x -8 - (3 + 4x + 40) -3(3 -x^{2} - 10x) =[/tex]

[tex]= -2x -8 - 3 - 4x - 40 - (9 - 3x^{2} - 30x) = -6x - 51 - 9 + 3x^{2} + 30x =[/tex]

[tex]= 3x^{2} + 24x - 60[/tex]

[tex]3x^{2} + 24x - 60 = 0|:3[/tex]

[tex]x^{2} + 8x - 20 = 0[/tex]

[tex]D = 64 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) =64 + 80 = 144 = 12^{2}[/tex]

[tex]x_{1} = \dfrac{-8 + 12}{2} = \dfrac{4}{2} = 2[/tex]

[tex]x_{2} = \dfrac{-8 - 12}{2} = \dfrac{-20}{2} = -10[/tex]

в)

[tex]\begin{vmatrix} 2 & -1 & 2 \\ 3 & 5 & 3 \\ 1 & 6 & x + 5 \end{vmatrix} =0[/tex]

Вычислим определитель данной матрицы по 2 строке:

[tex]\begin{vmatrix} 2 & -1 & 2 \\ 3 & 5 & 3 \\ 1 & 6 & x + 5 \end{vmatrix} = a_{21} \cdot A_{21} + a_{22} \cdot A_{22} + a_{23} \cdot A_{23} =[/tex]

[tex]= 3 \cdot (-1)^{2 + 1} \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 6 & x + 5 \end{vmatrix} + 5 \cdot (-1)^{2 + 2} \begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 1 & x + 5 \end{vmatrix} + 3 \cdot (-1)^{2 + 3} \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 6 \end{vmatrix} =[/tex]

[tex]= -3 \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 6 & x + 5 \end{vmatrix} + 5\begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 1 & x + 5 \end{vmatrix} - 3 \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 6 \end{vmatrix} =[/tex]

[tex]= -3(- x - 5 - 12) + 5(2x + 10 - 2) - 3(12 + 1) =[/tex]

[tex]= -3(- x - 17) + 5(2x + 8) - 3 \cdot 13 = 3(x + 17) + 10x + 40 - 39 =[/tex]

[tex]= 3x + 51 + 10x + 1 = 13x + 52[/tex]

[tex]13x + 52 = 0[/tex]

[tex]13x = -52[/tex]

[tex]x = -4[/tex]