Ответ:

[tex]\boxed{ \boldsymbol{ \int\limits^{4}_{2} {\frac{1}{\sqrt{6x - x^{2} -8} } } \, dx = \pi }}[/tex]

Примечание:

По таблице интегралов:

[tex]\boxed{\int {\frac{dx}{\sqrt{a^{2} - x^{2} } } } = \arcsin \frac{x}{a} + C, |x| < |a| }[/tex]

Пошаговое объяснение:

[tex]\displaystyle \int\limits^{4}_2} {\frac{1}{\sqrt{6x - x^{2} -8} } } \, dx[/tex] - несобственный интеграл 2 рода, так как функция неопределенна при x = 2 или x = 4.

Если существует конечный предел у несобственного интеграла, то данный интеграл является сходящимся.

Рассмотрим неопределенный интеграл  [tex]\displaystyle \int {\frac{1}{\sqrt{6x - x^{2} -8} } } \, dx[/tex].

Преобразуем подкоренное выражение:

[tex]6x - x^{2} -8 = -x^{2} + 6x - 8 = -x^{2} + 6x - 8 - 1 + 1 = -x^{2} + 6x - 9 + 1=[/tex]

[tex]= -(x^{2} - 6x + 9) + 1 = 1 -(x^{2} - 6x + 9) = 1 - (x - 3)^{2}[/tex]

[tex]\displaystyle \int {\frac{1}{\sqrt{6x - x^{2} -8} } } \, dx = \int {\frac{1}{\sqrt{ 1 - (x - 3)^{2}} } } \, dx = \int {\frac{1}{\sqrt{ 1 - (x - 3)^{2}} } } \, d(x-3) =[/tex]

[tex]= \arcsin(x - 3) + C[/tex]

Для вычисления несобственного 2 рода воспользуемся двойной несобственной подстановкой:

[tex]\displaystyle \int\limits^{4}_2} {\frac{1}{\sqrt{6x - x^{2} -8} } } \, dx = \arcsin(x - 3) \bigg|^{4}_{2} = \arcsin(4 - 3) - \arcsin(2 - 3) =[/tex]

[tex]= \arcsin (1) - \arcsin (-1) = \arcsin (1) + \arcsin (1) = 2\arcsin (1) = \dfrac{2\pi }{2} = \pi[/tex].