Ответ:

4

Пошаговое объяснение:

Воспользуемся тригонометрическим тождеством:

[tex] \displaystyle \sf \frac{1}{cos {}^{2} \alpha } = tg {}^{2} \alpha + 1[/tex]

По условию tgα = 1/2 , подставим и найдем отсюда cos²α:

[tex] \displaystyle \frac{1}{ \cos {}^{2} \alpha } = \bigg( \frac{1}{2} \bigg) {}^{2} + 1 \\ \\ \frac{1}{ \cos {}^{2} \alpha } = \frac{1}{4} + 1 \\ \\ \frac{1 }{ \cos {}^{2} \alpha } = \frac{5}{4 } \\ \\ 5\cos {}^{2} \alpha = 4 \\ \\ \bf \cos {}^{2} \alpha = \frac{4}{5} [/tex]

Теперь найдем значение выражения:

8 - 5cos²α = 8 - 5 · (4/5) = 8 - 4 = 4

Выразим cos²(a) из тригонометрического тождества:

[tex]\sin {}^{2} ( \alpha ) + \cos {}^{2} ( \alpha ) = 1 \: \: \: | \div \cos {}^{2} ( \alpha ) \\ \tg {}^{2} ( \alpha ) + 1 = \frac{1}{ \cos {}^{2} ( \alpha ) } \\ \cos {}^{2} ( \alpha ) = \frac{1}{tg {}^{2} ( \alpha ) + 1} [/tex]

Подставим значение tg(a) и посчитаем:

[tex] \cos {}^{2} ( \alpha ) = \frac{1}{( \frac{1}{2}) {}^{2} + 1 } = \frac{1}{ \frac{1}{4} + \frac{4}{4} } = \frac{1}{ \frac{5}{4} } = \frac{4}{5} [/tex]

Подставим сos²(a) в выражение:

[tex]8 - 5 \cos {}^{2} ( \alpha ) = 8 - 5 \times \frac{4}{5} = 8 - 4 = 4[/tex]

Ответ: 4