Verified answer

Ответ:

[tex]\boxed{\boldsymbol{V = 36}}[/tex] кубических единиц

Примечание:

[tex]\boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle V = \iiint\limits_{T} dxdydz } }[/tex] - объем тела ограниченного областью [tex]\boldsymbol T[/tex].

Проектировать тело будем на плоскость [tex]XY[/tex], поэтому сведем тройной интеграл к повторному следующим образом:

[tex]V =\displaystyle \iiint\limits_{T} dxdydz = \iint\limits_{G} dxdy \int\limits^{u_{2}(x,y)}_{u_{1}(x,y)} \, dz[/tex]

Распишем приведение двойного интеграла [tex]\displaystyle \iint\limits_{G} dxdy[/tex] к повторному:

Для вычисления двойного интеграла сведем его к повторному интегралу. Будем интегрировать по x, поэтому приведения в общем

виде к повторному интегралу двойного по области [tex]G[/tex]  будет в виде:

[tex]\displaystyle \iint\limits_{G} dxdy = \int\limits^a_b \, dx \int\limits^{\phi_{2}(x)}_{\phi_{1}(x)} \, dy[/tex]

При этом функции [tex]\phi_{1} (x), \phi_{2} (x)[/tex] - функции ограничивающие область [tex]G[/tex]  снизу и сверху соответственно.

Таким образом тройной интеграл расписывается следующим образом:

[tex]V =\displaystyle \iiint\limits_{T} dxdydz = \iint\limits_{G} dxdy \int\limits^{u_{2}(x,y)}_{u_{1}(x,y)} \, dz = \int\limits^a_b \, dx \int\limits^{\phi_{2}(x)}_{\phi_{1}(x)} \, dy \int\limits^{u_{2}(x,y)}_{u_{1}(x,y)} \, dz[/tex]

То есть:

[tex]\boxed{\boldsymbol{ V =\displaystyle \int\limits^a_b \, dx \int\limits^{\phi_{2}(x)}_{\phi_{1}(x)} \, dy \int\limits^{u_{2}(x,y)}_{u_{1}(x,y)} \, dz}}[/tex]

Объяснение:

Область [tex]T \ (XYZ)[/tex] ограниченна поверхностями :

[tex]x = 0[/tex]

[tex]y = 0[/tex]

[tex]z = 0[/tex]

[tex]x + y + z = 6 \Longrightarrow z = 6 - x - y[/tex]

Область [tex]G \ (XY) :[/tex]

[tex]x = 0[/tex]

[tex]y = 0[/tex]

Снизу область ограниченна функцией [tex]z = 0[/tex], а сверху функцией [tex]z = 6 - x - y[/tex]

Пересечения плоскостей [tex]z:[/tex]

[tex]6 - x - y = 0 \Longrightarrow y = 6 - x[/tex]

Границы интегрирования: от 0 до 6

------------------------------------------------------------------

[tex]\displaystyle V = \int\limits^{6}_{0} \, dx \int\limits^{6 - x}_{0} \, dy \int\limits^{6 - x - y}_{0} \, dz = \int\limits^{6}_{0} \, dx \int\limits^{6 - x}_{0} \bigg( \bigg( z\bigg) \bigg |_{0}^{6 - x -y} \bigg) \, dy =[/tex]

[tex]\displaystyle = \int\limits^{6}_{0} \, dx \int\limits^{6 - x}_{0} \bigg( 6 - x - y \bigg) \, dy = \int\limits^{6}_{0} \bigg( \bigg( y(6 - x) - \frac{y^{2}}{2} \bigg) \bigg |_{0}^{6 - x} \bigg) \, dx =[/tex]

[tex]\displaystyle = \int\limits^{6}_{0} \bigg( (6 - x)(6 - x) - \frac{(6 - x)^{2}}{2} \bigg) \, dx = \int\limits^{6}_{0} \bigg( (6 - x)^{2} - \frac{(6 - x)^{2}}{2} \bigg) \, dx =[/tex]

[tex]\displaystyle = \int\limits^{6}_{0} \bigg( (6 - x)^{2} \bigg(1 - \frac{1}{2} \bigg) \bigg) \, dx = \frac{1}{2} \int\limits^{6}_{0} (6 - x)^{2} \, dx = -\frac{1}{2} \int\limits^{6}_{0} (6 - x)^{2} \, d(6 - x) =[/tex]

[tex]\displaystyle = - \frac{1}{2} \Bigg( \frac{(6 - x)^{3}}{3} \bigg|_{0}^{6} \Bigg) =- \frac{1}{2} \Bigg( \frac{(6 - 6)^{3}}{3} - \bigg( \frac{(6 - 0)^{3}}{3} \bigg) \Bigg) = - \frac{1}{2} \cdot \bigg(-\frac{6^{3}}{3} \bigg)= \frac{6^{3}}{6}=[/tex]

[tex]= 6^{2} = 36[/tex] кубических единиц.