Verified answer

Ответ:

[tex]1)\ \ sin^2x-2,5sin2x+4cos^2x=0\\\\ sin^2x-2,5\cdot 2\, sinx\cdot cosx+4cos^2x=0\\\\ sin^2x-5sinx\cdot cosx+4cos^2x=0\ |:\cdot cos^2x\ne 0\\\\[/tex]

Это однородное тригон. ур-е , делим обе его части на  [tex]cos^2x\ne 0[/tex]  .

[tex]tg^2x-4tgx+4=0\ \ \Rightarrow \ \ \ (tgx-2)^2=0\ \ ,\ \ tgx-2=0\\\\tgx=2\ \ \Rightarrow \ \ \ \underline {x=arctg2+\pi n\ ,\ n\in Z}\ \ -\ \ otvet[/tex]

[tex]2)\ \ \dfrac{tg5x+tgx}{1-tg5x\cdot tgx}\cdot (\sqrt3sin^2x+sinx)=0[/tex]

Первый множитель - это формула для тангенса суммы .

[tex]tg(5x+x)\cdot (\sqrt3sin^2x+sinx)=0\\\\tg6x\cdot (\sqrt3sin^2x+sinx)=0\\\\tg6x\cdot sinx\cdot (\sqrt3sinx+1)=0[/tex]

Произведение равно 0 , если хотя бы один из множителей равен 0 .

[tex]a)\ \ tg6x=0\ \ ,\ \ 6x=\pi n\ ,\ \ x=\dfrac{\pi n}{6}\ \ ,\ n\in Z\\\\b)\ \ sinx=0\ \ ,\ \ x=\pi k\ ,\ \ k\in Z[/tex]

[tex]c)\ \ \sqrt3sinx+1=0\ ,\ \ sinx=-\dfrac{1}{\sqrt3}\ ,\ \ x=(-1)^{n}\cdot arcsin\Big(-\dfrac{1}{\sqrt3}\Big)+\pi l\ ,\\\\x=(-1)^{n+1}\cdot arcsin\dfrac{\sqrt3}{3}+\pi l\ ,\ l\in Z[/tex]

Вторая серия решений (b) входит в первую серию при n=6k, поэтому в ответе пишем первую и третью серии .

Ответ:  [tex]x=\dfrac{\pi n}{6}\ ,\ \ x=(-1)^{n+1}\cdot arcsin\dfrac{\sqrt3}{3}+\pi l\ ,\ \ n,l\in Z[/tex]  .