Verified answer

Ответ:

[tex]\boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \int\limits^{1}_{0} {x \ln x} \, dx = -\frac{1}{4} } }[/tex]

Примечание:

Интегрирование по частям:

[tex]\boxed{ \boldsymbol{ \int {u} \, dv = uv - \int {v} \, du } }[/tex]

Правило Лопиталя:

Если [tex]\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(x) = \infty[/tex] и функции [tex]f(x),g(x)[/tex] таковы, что дифференцируемы в окрестности точки [tex]a[/tex] и в окрестности этой точки [tex]g'(x) \neq 0[/tex] и существует предел [tex]\displaystyle \lim_{x \to a} \frac{ f'(x) }{g'(x)}[/tex], то существует[tex]\displaystyle \lim_{x \to a} \frac{ f(x) }{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{ f'(x) }{g'(x)}[/tex]

[tex]\boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{ f(x) }{g(x)} = \bigg [ \frac{\infty}{\infty} \bigg] = \lim_{x \to a} \frac{ f'(x) }{g'(x)}} }[/tex], при условии, что функции [tex]f(x),g(x)[/tex] соответствуют всем выше перечисленным условиям и соответствующие пределы существуют.

Пошаговое объяснение:

[tex]\displaystyle \int\limits^{1}_{0} {x \ln x} \, dx[/tex] - несобственный интеграл 2 рода

Если существует конечный предел у несобственного интеграла, то данный интеграл является сходящимся.

Рассмотрим неопределенный интеграл [tex]\displaystyle \int {x \ln x} \, dx[/tex].

[tex]\displaystyle \int {x \ln x} \, dx =[/tex]

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

Интегрирование по частям:

[tex]u = \ln x \Longrightarrow du = (\ln x)' \ dx = \dfrac{1}{x} \ dx[/tex]

[tex]\displaystyle dv = x \ dx \Longrightarrow v = \int {x} \, dx = \frac{x^{2} }{2}[/tex]

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

[tex]\displaystyle = \frac{x^{2} \ln x }{2} - \int {\frac{x^{2} }{2} \cdot \frac{1}{x} } \, dx = \frac{x^{2} \ln x }{2} - \frac{1}{2} \int { x } \, dx = \frac{x^{2} \ln x }{2} -\frac{x^{2} }{4} + C[/tex]

Для вычисления несобственного 2 рода воспользуемся двойной несобственной подстановкой:

[tex]\displaystyle \int\limits^{1}_{0} {x \ln x} \, dx = \Bigg( \frac{x^{2} \ln x }{2} -\frac{x^{2} } {4}\Bigg) \Bigg|^{1}_{0} = \Bigg( \frac{1^{2} \ln 1 }{2} -\frac{1^{2} } {4}\Bigg) - \lim_{x \to +0} \Bigg( \frac{x^{2} \ln x }{2} -\frac{x^{2} } {4}\Bigg)=[/tex]

[tex]\displaystyle = \Bigg( \frac{1 \cdot 0 }{2} -\frac{1 } {4}\Bigg) - \lim_{x \to +0} \Bigg( \frac{x^{2} \ln x }{2} -\frac{x^{2} } {4}\Bigg)= -\frac{1}{4} - \lim_{x \to +0} \Bigg( \frac{x^{2} \ln x }{2} -\frac{x^{2} } {4}\Bigg) =[/tex]

[tex]= -\dfrac{1}{4} - 0 = -\dfrac{1}{4}[/tex].

Рассмотрим детальнее предел [tex]\displaystyle \lim_{x \to +0} \Bigg( \frac{x^{2} \ln x }{2} -\frac{x^{2} } {4}\Bigg)[/tex].

[tex]\displaystyle \lim_{x \to +0} \Bigg( \frac{x^{2} \ln x }{2} -\frac{x^{2} } {4}\Bigg) = \lim_{x \to +0} \frac{x^{2} \ln x }{2} - \lim_{x \to +0}\frac{x^{2} } {4} = \frac{1}{2} \lim_{x \to +0}x^{2} \ln x - 0 =[/tex]

[tex]\displaystyle= \frac{1}{2} \lim_{x \to +0}x^{2} \ln x=\frac{1}{2}[0 \cdot \infty] = \frac{1}{2} \lim_{x \to +0} \frac{\dfrac{\ln x}{1} }{\dfrac{1}{x^{2} } } = \frac{1}{2} \bigg [\frac{\infty}{\infty} \bigg ] =\frac{1}{2} \lim_{x \to +0} \frac{( \ln x)'}{(x^{-2})'} =[/tex]

[tex]\displaystyle = \frac{1}{2} \lim_{x \to +0} \frac{1}{x \cdot (-2)x^{-3}} = -\frac{1}{4} \lim_{x \to +0} \frac{1}{x^{-3 + 1}} = -\frac{1}{4} \lim_{x \to +0} \frac{1}{x^{-2}} = -\frac{1}{4} \lim_{x \to +0}x^{2} =0[/tex].