Дифференциальные вычисления. Created by Simba2017. algebra-ru

4) Заметим, что это уравнение в полных дифференциалах. И правда: Тогда решение данного ДУ можно записать в виде . При этом Определяем неизвестную функцию:Окончательно 5) Замена : - получено уравнение Лагранжа.Полагаем , дифференцируем по : 1. Подставим в исходное ДУ:2. Проверим особое решение: Подставим в исходное ДУ: Окончательно

Дифференциальные вычисления...

Simba2017 @Simba2017

August 2022 1 116 Report

Дифференциальные вычисления

Answers & Comments

igorShap

Verified answer

4) Заметим, что это уравнение в полных дифференциалах. И правда:

$(y-3x^2+1)'_y=1=(x+ln y)'_x$

Тогда решение данного ДУ можно записать в виде $z(x,y)=C$ . При этом

$z=\int(y-3x^2+1)dx=xy-x^3+x+\varphi(y)$

Определяем неизвестную функцию:

$(xy-x^3+x+\varphi(y))'_y=x+lny\Leftrightarrow \varphi'(y)=lny\\ \varphi(y)=\int \underbrace{lny}_{v}\underbrace{dy}_{du}=y\cdot lny-\int y\cdot \dfrac{dy}{y}=y\cdot lny-y+C_0$

Окончательно $\boxed{xy-x^3+x+y\cdot lny-y=C}$

5) Замена $z=lny\Rightarrow z'=\dfrac{y'}{y},y=e^z$ :

$z'=e^{z-xz'}\Leftrightarrow xz'+lnz'=z$ - получено уравнение Лагранжа.

Полагаем $z'=p$ , дифференцируем по $x$ :

$xp+lnp=z\Rightarrow p+x \dfrac{dp}{dx}+\dfrac{1}{p}\cdot \dfrac{dp}{dx}=p\Rightarrow \left(x +\dfrac{1}{p}\right)\cdot dp=0$

1. $dp=0\Rightarrow p=C_1\Rightarrow z=C_1x+C_2\Rightarrow y=C_3\cdot e^{C_1x}$

Подставим в исходное ДУ:

$C_1C_3\cdot e^{C_1x}=(C_3\cdot e^{C_1x})^2 \cdot \exp(-x\cdot C_1C_3\cdot e^{C_1x}/(C_3\cdot e^{C_1x}))\Rightarrow\\ \Rightarrow C_1=C_3\Rightarrow y=C_1\cdot e^{C_1x}$

2. Проверим особое решение:

$x +\dfrac{1}{p}=0\Rightarrow p=-\dfrac{1}{x}\Rightarrow z=C_4-lnx\Rightarrow y=\dfrac{C_5}{x}$

Подставим в исходное ДУ:

$-\dfrac{C_5}{x^2}=\dfrac{C_5^2}{x^2}\cdot \exp\left(-x\cdot \left(-\dfrac{C_5}{x^2}\right)\left / \dfrac{C_5}{x}\right .\right)\Rightarrow -1=C_5\cdot e\Rightarrow C_5=-\dfrac{1}{e}\Rightarrow y=-\dfrac{1}{xe}$

Окончательно $\boxed{y=C_1\cdot e^{C_1x};y=-\dfrac{1}{xe}}$

2 votes Thanks 2

Simba2017 спасибо вам!

Answers & Comments

Verified answer

20cd6645b6feee76c715f2322eec547b

5b17ede1da1eb7521990200f9e210c82

16e81ab876ec3d26f957e054e8745237

6d865b357d56b5cc17c7898927604a2f

77e17fe02c3bea03d08a6dce68b8916d

39e557b67a657c856d4a19591caf0091

46789 4 6

differencialnye vychisleniya50b0fe5fe0e7b62d29dd0d39df7843bc 61566

differencialnye uravneniya7beaee0a7307e7ed059853b471afdee9 64501

vopros na foto38c376e8a40d2ef51e7c4ca239416f92 92004

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social