Дифференциальные вычисления........ Created by Simba2017. algebra-ru

1) Т.к. , то уравнение равносильно 2) , а значит в левой части уравнения стоит не что иное, как производная произведения: . Тогда уравнение равносильно 3) - т.е. это уравнение Бернулли.Замена :Подбираем ненулевое так, чтобы . Возьмем, например, . Для определения остается уравнение Также при делении на могли потерять особое решение . Подстановкой в исходное уравнение убеждаемся, что - решение.Окончательно,

Дифференциальные вычисления...

Simba2017 @Simba2017

August 2022 1 107 Report

Дифференциальные вычисления.......

Answers & Comments

igorShap

Verified answer

$(x+2y)y'+y=0\Leftrightarrow 2(x+2y)y'+2y+x=x\Leftrightarrow (x+2y)(2y'+1)=x\Leftrightarrow\\\Leftrightarrow 2(x+2y)(1+2y')=2x$

Т.к. $\left[\left((x+2y)^2\right)'=2(x+2y)(1+2y'); \left(x^2\right)'=2x\right]$ , то уравнение равносильно

$(x+2y)^2=x^2+C_1\Leftrightarrow 4xy+4y^2=C_1\Leftrightarrow \boxed{xy+y^2=C}$

2) $y'=\dfrac{y}{x}-2x^2\Leftrightarrow \dfrac{y'}{x}-\dfrac{y}{x^2}=-2x$

$\left(\dfrac{1}{x}\right)'=-\dfrac{1}{x^2}$ , а значит в левой части уравнения стоит не что иное, как производная произведения: $\left(y\cdot \dfrac{1}{x}\right)'=y'\cdot \dfrac{1}{x}+y\cdot \left(-\dfrac{1}{x^2}\right)=\dfrac{y'}{x}-\dfrac{y}{x^2}$ . Тогда уравнение равносильно

$y\cdot \dfrac{1}{x}=-x^2+C\Leftrightarrow \boxed{y=Cx-x^2}$

3) $y(4xy^2-3)+2xy'=0\Leftrightarrow y'-\dfrac{3y}{2x}=-2y^3$ - т.е. это уравнение Бернулли.

Замена $y(x)=u(x)v(x)$ :

$u'v+uv'-\dfrac{3uv}{2x}=-2u^3v^3$

Подбираем ненулевое $v$ так, чтобы $v'-\dfrac{3v}{2x}=0\Rightarrow \dfrac{dv}{v}=\dfrac{3dx}{2x}\Rightarrow \ln v=\dfrac{3}{2}\ln x+C_0\Rightarrow v=C_1 x^{3/2}$ . Возьмем, например, $v=x^{3/2}$ . Для определения $u$ остается уравнение