Verified answer

Ответ:

а) [tex]\boxed{ \boldsymbol{\Delta = 112}}[/tex]

б) [tex]\boxed{ \boldsymbol{\Delta = -42}}[/tex]

в) [tex]\boxed{ \boldsymbol{\Delta = 39}}[/tex]

Примечание:

Теорема Лапласа:

Значение определителя матрицы равно сумме произведений элементов некоторой строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Минором элемента [tex]a_{ij}[/tex] определителя порядка [tex]n[/tex] есть определитель порядка [tex](n - 1)[/tex], полученный из данного удалением [tex]i[/tex]-й строки и [tex]j[/tex]-го столбца и обозначается в виде [tex]M_{ij}[/tex].

Алгебраическим дополнение [tex]a_{ij}[/tex]:

[tex]A_{ij} = (-1)^{i + j} \cdot M_{ij}[/tex]

Определитель матрицы не меняется при элементарном преобразовании матрицы.

[tex]r_{n}[/tex] - строка с номером n

[tex]c_{n}[/tex] - столбец с номером n

Объяснение:

а) [tex]i = 2[/tex]

Определитель по 2 строке:

[tex]\Delta = \begin{vmatrix} 1& -2 & 3 \\ 2 &6 & -5 \\2 & 8 & 4 \end{vmatrix} = a_{21} \cdot A_{21} + a_{22} \cdot A_{22} + a_{23} \cdot A_{23} =[/tex]

[tex]= 2 \cdot (-1)^{2 + 1} \begin{vmatrix} -2 & 3 \\ 8 & 4 \end{vmatrix} + 6 \cdot (-1)^{2 + 2} \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{vmatrix} -5 \cdot (-1)^{2 + 3 } \begin{vmatrix} 1 & -2\\ 2 & 8 \end{vmatrix} =[/tex]

[tex]= -2 \begin{vmatrix} -2 & 3 \\ 8 & 4 \end{vmatrix} + 6 \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{vmatrix} +5 \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 8 \end{vmatrix} =[/tex]

[tex]= -2(-2 \cdot 4 - 3 \cdot 8) + 6(1 \cdot 4 - 2 \cdot 3) + 5(1 \cdot 8 - 2 \cdot (-2)) =[/tex]

[tex]= -2(-8 - 24) + 6( 4 - 6) + 5(8 + 4) = -2 \cdot (-32) + 6 \cdot (-2) + 5 \cdot 12 =[/tex]

[tex]= 64 - 12 + 60 = 124 - 12 = 112[/tex]

Определитель по 2 столбцу:

[tex]\Delta = \begin{vmatrix} 1& -2 & 3 \\ 2 &6 & -5 \\2 & 8 & 4 \end{vmatrix}r_{2} + 3r_{1}; r_{3} + 4r_{1}; =[/tex]

[tex]= \begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 2 + 3 \cdot 1 &6 + 3 \cdot (-2) & -5 + 3 \cdot 3 \\2 + 4\cdot 1 & 8 + 4\cdot(-2) & 4 + 4\cdot 3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 5 &0 & 4 \\6& 0 & 16 \end{vmatrix} =[/tex]

[tex]= a_{12} \cdot A_{12} + a_{22} \cdot A_{22} + a_{32} \cdot A_{32} = -2 \cdot A_{12} + 0 \cdot A_{22} + 0 \cdot A_{32} = -2 A_{12} =[/tex]

[tex]= -2 \cdot (-1)^{1 + 2} \begin{vmatrix} 5 & 4 \\ 6 & 16 \end{vmatrix} = 2(5 \cdot 16 - 4 \cdot 6) = 2(80 - 24) = 2 \cdot 56 = 112[/tex]

б) [tex]i = 3[/tex]

Определитель по 3 строке:

[tex]\Delta = \begin{vmatrix} 1& 4 & 5 \\ 2 &3 & 1 \\ 7 & 5 & 2 \end{vmatrix} = a_{31} \cdot A_{31} + a_{32} \cdot A_{32} + a_{33} \cdot A_{33} =[/tex]

[tex]= 7 \cdot (-1)^{3 + 1} \begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} + 5 \cdot (-1)^{3 + 2} \begin{vmatrix} 1 & 5 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} + 2 \cdot (-1)^{3 + 3 } \begin{vmatrix} 1 & 4\\ 2 & 3 \end{vmatrix} =[/tex]

[tex]= 7 \begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} - 5 \begin{vmatrix} 1 & 5 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} + 2 \begin{vmatrix} 1 & 4\\ 2 & 3 \end{vmatrix} =[/tex]

[tex]= 7 (4 \cdot 1 - 3 \cdot 5) - 5 (1 \cdot 1 - 2 \cdot 5) + 2 (1 \cdot 3 - 2 \cdot 4) = 7 (4 - 15) - 5 (1 - 10) + 2 (3 - 8) =[/tex]

[tex]= 7\cdot (-11) - 5 \cdot (-9) + 2 \cdot (-5) = -77 + 45 -10 = -87 + 45 = -42[/tex]

Определитель по 3 столбцу:

[tex]\Delta = \begin{vmatrix} 1& 4 & 5 \\ 2 &3 & 1 \\ 7 & 5 & 2 \end{vmatrix} r_{1} - 5r_{2}; r_{3} - 2r_{2}= \begin{vmatrix} 1 - 5\cdot 2 & 4 - 5\cdot3 & 5 - 5\cdot1 \\ 2 &3 & 1 \\ 7 - 2 \cdot 2 & 5 - 2 \cdot3 & 2 - 2 \cdot1 \end{vmatrix} =[/tex]

[tex]= \begin{vmatrix} -9 & -11 & 0 \\ 2 &3 & 1 \\ 3 & -1 & 0 \end{vmatrix} = a_{13} \cdot A_{13} + a_{23} \cdot A_{23} + a_{33} \cdot A_{33} = 0 \cdot A_{13} + 1 \cdot A_{23} + 0 \cdot A_{33} =[/tex]

[tex]= A_{23} = (-1)^{2 + 3} \begin{vmatrix} -9 & -11 \\ 3 & -1 \end{vmatrix} = -((-9) \cdot (-1) - 3 \cdot (-11)) = -(9 + 33) = -42[/tex]

в) [tex]i = 1[/tex]

Определитель по 1 строке:

[tex]\Delta = \begin{vmatrix} -1& 2 & 4 \\ 1 & 5 & 7 \\ -8 & 3 & 6 \end{vmatrix} = a_{11} \cdot A_{11} + a_{12} \cdot A_{12} + a_{13} \cdot A_{13} =[/tex]

[tex]= -1 \cdot (-1)^{1 + 1} \begin{vmatrix} 5 & 7 \\ 3 & 6 \end{vmatrix} + 2 \cdot (-1)^{1 + 2} \begin{vmatrix} 1 & 7 \\ -8 & 6 \end{vmatrix} + 4 \cdot (-1)^{1 + 3 } \begin{vmatrix} 1 & 5\\ -8 & 3 \end{vmatrix} =[/tex]

[tex]= - \begin{vmatrix} 5 & 7 \\ 3 & 6 \end{vmatrix}-2 \begin{vmatrix} 1 & 7 \\ -8 & 6 \end{vmatrix} + 4 \begin{vmatrix} 1 & 5\\ -8 & 3 \end{vmatrix} =[/tex]

[tex]= -(5 \cdot 6 - 3 \cdot 7) - 2(1 \cdot 6 - 7 \cdot (-8)) + 4(1 \cdot 3 - 5 \cdot (-8)) =[/tex]

[tex]= -(30 - 21) - 2(6 + 56) + 4(3 +40) = -9 - 2 \cdot 62 + 4 \cdot 43= -9 - 124 + 172=39[/tex]

Определитель по 1 столбцу:

[tex]\Delta = \begin{vmatrix} -1& 2 & 4 \\ 1 & 5 & 7 \\ -8 & 3 & 6 \end{vmatrix} r_{1} + r_{2};r_{3} + 8r_{1} = \begin{vmatrix} -1 + 1& 2 + 5 & 4 + 7 \\ 1 & 5 & 7 \\ -8 + 8 \cdot 1 & 3 + 8 \cdot5 & 6 + 8 \cdot7 \end{vmatrix}=[/tex]

[tex]=\begin{vmatrix} 0& 7 & 11 \\ 1 & 5 & 7 \\ 0 & 43 &62 \end{vmatrix}= a_{11} \cdot A_{11} + a_{21} \cdot A_{21} + a_{31} \cdot A_{31} = 0 \cdot A_{11} + 1 \cdot A_{21} + 0 \cdot A_{31} =[/tex]

[tex]= A_{21} = (-1)^{2 + 1} \begin{vmatrix} 7 & 11 \\ 43 & 62 \end{vmatrix} = -(7 \cdot62 - 43 \cdot 11) = -(434 - 473) = -(-39) =39[/tex]