Verified answer

Примечание:

По определению:

Числовую последовательность [tex](a_{n})[/tex]ограниченной снизу, если существует такое число [tex]c[/tex], что для любого [tex]n \in \mathbb N[/tex] выполняется неравенство [tex]a_{n} \geq c[/tex].

(Определение через кванторы: [tex]\exists c \in X \ \forall n \in \mathbb N: x_{n}\geq c[/tex])

Числовую последовательность [tex](a_{n})[/tex]ограниченной сверху, если существует такое число [tex]C[/tex], что для любого [tex]n \in \mathbb N[/tex] выполняется неравенство [tex]a_{n} \leq C[/tex].

(Определение через кванторы: [tex]\exists C \in X \ \forall n \in \mathbb N:x_{n} \leq C[/tex])

Неравенство Коши:

[tex]\dfrac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}[/tex]

-------------------------------------------------------------------------------------------------------

32.15

1) [tex]1 - \dfrac{7}{3} = \dfrac{3}{3} - \dfrac{7}{3} = \dfrac{3 - 7}{3} = \dfrac{-4}{3} = -\dfrac{4}{3}[/tex]

Ответ:

32.15

1) [tex]a_{n} = 3 - \bigg(n - \dfrac{7}{3} \bigg)^{2}[/tex]

Докажем, что последовательность [tex]a_{n}[/tex] является убывающей, то есть необходимо доказать, что [tex]a_{n} > a_{n + 1}[/tex].

[tex]3 - \bigg(n - \dfrac{7}{3} \bigg)^{2} > 3 - \bigg(n + 1 - \dfrac{7}{3} \bigg)^{2}[/tex]

[tex]\bigg(n + 1 - \dfrac{7}{3} \bigg)^{2} > \bigg(n - \dfrac{7}{3} \bigg)^{2}[/tex]

[tex]\bigg(n -\dfrac{4}{3} \bigg)^{2} > \bigg(n - \dfrac{7}{3} \bigg)^{2}[/tex]

[tex]n^{2} - \dfrac{8n}{3} + \dfrac{16}{9} > n^{2} - \dfrac{14n}{3} + \dfrac{49}{9}[/tex]

[tex]\dfrac{14n}{3} - \dfrac{8n}{3} + \dfrac{16}{9} -\dfrac{49}{9} > 0[/tex]

[tex]\dfrac{6n}{3} - \dfrac{33}{9 } > 0[/tex]

[tex]\dfrac{18n - 33}{9 } > 0 \bigg| \cdot 9[/tex]

[tex]18n - 33 > 0[/tex]

[tex]18n > 33|:18[/tex]

[tex]n > \dfrac{33}{18}[/tex]

[tex]n > 1[/tex], то то есть при [tex]n \geq 2[/tex] последовательность убывает

Найдем [tex]a_{1} = 3 - \bigg(1 - \dfrac{7}{3} \bigg)^{2} = 3 - \bigg(-\dfrac{4}{3} \bigg)^{2} = 3 - \dfrac{16}{9} = \dfrac{27 - 16}{9} = \dfrac{11}{9}[/tex].

Найдем [tex]a_{2} = 3 - \bigg(2 - \dfrac{7}{3} \bigg)^{2} =3 -\bigg( - \dfrac{1}{3} \bigg)^{2} = 3 - \dfrac{1}{9} = \dfrac{27 - 1}{9} = \dfrac{26}{9}[/tex]

А так при [tex]n \geq 2[/tex] последовательность убывает и [tex]a_{2} > a_{1}[/tex], то наибольший элемент последовательности равен [tex]\boldsymbol{ \dfrac{26}{9} }[/tex].

2) [tex]a_{n} = \dfrac{6\sqrt{n} }{n + 9}[/tex]

Применим неравенство Коши для чисел [tex]n[/tex] и [tex]9[/tex]

[tex]\dfrac{n + 9}{2} \geq \sqrt{9n}[/tex]

[tex]\dfrac{n + 9}{2} \geq 3\sqrt{n} \bigg| \cdot \dfrac{2}{n + 9}[/tex]

[tex]1 \geq \dfrac{6\sqrt{n} }{n + 9}[/tex]

Тогда так как [tex]1 \geq a_{n}[/tex], то последовательность [tex]a_{n}[/tex] ограниченна сверху числом [tex]1[/tex], тогда найдем такое число [tex]n[/tex], чтобы достигалось равенство

[tex]a_{n} = 1[/tex]

[tex]\dfrac{6\sqrt{n} }{n + 9} = 1 \bigg | \cdot (n + 9)[/tex]

[tex]6\sqrt{n} = n + 9[/tex]

[tex]36n = n^{2} + 18n + 81[/tex]

[tex]n^{2} - 18n + 81 = 0[/tex]

[tex](n - 9)^{2} = 0 \Longleftrightarrow n - 9= 0[/tex]

[tex]n = 9[/tex], тогда найдем максимальное значение при [tex]n = 9[/tex].

[tex]a_{9} = \dfrac{6\sqrt{9} }{9 + 9} = \dfrac{6 \cdot 3}{18} = 1[/tex] - максимальное при [tex]n = 9[/tex].

3)

[tex]a_{n} = \dfrac{2n + 1}{2n - 5}[/tex]

Преобразуем последовательность [tex]a_{n}:[/tex]

[tex]a_{n} = \dfrac{\dfrac{2n + 1}{n} }{\dfrac{2n - 5}{n} } = \dfrac{2 + \dfrac{1}{n} }{2 - \dfrac{5}{n} } = \dfrac{2}{2 - \dfrac{5}{n}} + \dfrac{\dfrac{1}{n} }{\dfrac{5}{n} } = \dfrac{2}{2 - \dfrac{5}{n}} + \dfrac{1}{5}[/tex]

С увеличением [tex]n[/tex] число [tex]\dfrac{5}{n}[/tex] будет уменьшаться, то есть при

[tex]n = 1: 2 - \dfrac{5}{n} = 2 - \dfrac{5}{1} = 2 -5 =-3[/tex]

4)

[tex]a_{n} = \dfrac{20}{n^{2} -4n + 24}[/tex]

Преобразуем последовательность [tex]a_{n}:[/tex]

[tex]a_{n} = \dfrac{20}{n^{2} -4n + 24} = \dfrac{20}{n^{2} -4n + 4 + 20} = \dfrac{20}{( n - 2)^{2} + 20}[/tex]

Очевидно, что при увеличении [tex]n[/tex] число [tex]\dfrac{20}{( n - 2)^{2} + 20}[/tex] будет уменьшаться, таким образом максимум достигается в точке [tex]n = 2[/tex], то есть [tex]a_{2} = 1[/tex]