Ответ:

а)

[tex]\boxed{ \boldsymbol{ f(A) = \begin{pmatrix} -7& -9 \\ 15& -16 \end{pmatrix}} }[/tex]

б)

Функция [tex]f(x)[/tex] при [tex]x = A[/tex] - не существует

Примечание:

Чтобы сложить 2 матрицы они должны быть одинакового размера, а складываются соответствующие элементы из каждой матрицы.

Объяснение:

а)

[tex]A = \begin{pmatrix} 4 & -3 \\ 5 & 1 \end{pmatrix}[/tex]

[tex]f(x) = x^{2} - 2x[/tex]

[tex]f(A) = A^{2} - 2A = \begin{pmatrix} -7& -9 \\ 15& -16 \end{pmatrix}[/tex]

1) Необходимо возвести матрицу в квадрат и это возможно так как только квадратные матрицы возводятся в степень

[tex]A^{2} =\begin{pmatrix} 4 & -3 \\ 5 & 1 \end{pmatrix}^{2} = \begin{pmatrix} 4 & -3 \\ 5 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 4 & -3 \\ 5 & 1 \end{pmatrix} =[/tex]

[tex]= \begin{pmatrix} 4 \cdot 4 + (-3) \cdot 5 & 4 \cdot ( -3) + (-3) \cdot 1 \\ 5 \cdot 4 + 1 \cdot 5 & 5 \cdot (-3) + 1 \cdot 1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 16 - 15 & -12 -3 \\ 20 + 5 & -15+ 1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & -15 \\ 25 & -14 \end{pmatrix}[/tex]

2) Для того, чтобы умножить матрицу на число нужно каждый элемент матрицы умножить на данное число

[tex]2A = 2\begin{pmatrix} 4 & -3 \\ 5 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 4 & 2 \cdot (-3) \\ 2 \cdot 5 & 2 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & -6 \\ 10 & 2 \end{pmatrix}[/tex]

3) (смотрите примечание)

[tex]A^{2} - 2A = \begin{pmatrix} 1 & -15 \\ 25 & -14 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 8 & -6 \\ 10 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 - 8& -15 - (-6) \\ 25 -10& -14 -2 \end{pmatrix} =[/tex]

[tex]= \begin{pmatrix} 1 - 8& -15 +6 \\ 25 -10& -14 -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -7& -9 \\ 15& -16 \end{pmatrix}[/tex]

б)

[tex]f(x) = 2x^{2} - x + 5[/tex]

[tex]A -[/tex] матрица

[tex]f(A) = 2A^{2} - A + 5[/tex]

Предположим, что над матрицей [tex]A[/tex] возможно выполнить указанные действия и пусть [tex]2A^{2} - A[/tex] равняется некоторой матрицы [tex]B[/tex], то есть [tex]B = 2A^{2} - A[/tex], тогда [tex]f(A) = B + 5[/tex] при условии, что матрица [tex]B[/tex] существует.

Действие сложения матрицы и числа - не определенно, поэтому невозможно выполнить операцию сложению с числом и матрицей, иначе [tex]B + 5 \in \varnothing[/tex], то есть [tex]f(x)[/tex] при [tex]x = A[/tex] - не существует.