Verified answer

Ответ:

[tex]2^{n} > 2n + 1; n \in \mathbb N; n \geq 3[/tex]

[tex]n = 3;[/tex]

[tex]2^{3} \lor 2 \cdot 3 + 1[/tex]

[tex]8 \lor 6 + 1[/tex]

[tex]8 > 7 \Longrightarrow 2^{3} > 2 \cdot 3 + 1[/tex]

[tex]n = k; \boxed{ 2^{k} > 2k + 1}[/tex] - пусть верно

[tex]2^{k} - 2k - 1 > 0[/tex]

[tex]n = k + 1; 2^{k + 1} > 2(k + 1) + 1[/tex]

[tex]2^{k} \cdot 2 ^{1} > 2k + 2 + 1[/tex]

[tex]2 \cdot 2^{k} > 2k + 3[/tex]

------------------------------------------------------

Необходимо доказать:

[tex]2 \cdot 2^{k} > 2k + 3[/tex]

[tex]2 \cdot 2^{k} - 2k - 3 > 0[/tex]

[tex]2^{k} - 2k - 1 + 2^{k} - 2 > 0[/tex]

По индуктивному предположению [tex]2^{k} - 2k - 1 > 0[/tex]

То, есть нужно доказать, что [tex]2^{k} - 2 > 0[/tex]

[tex]2^{k} > 2^{1} \Longrightarrow k > 1[/tex], а по условию минимальное [tex]k = 3[/tex], то есть утверждение  [tex]2^{k} - 2 > 0[/tex], тоже верно. Так как сумма двух положительных чисел больше нуля, то утверждение для [tex]k = n + 1[/tex] верно

Так как [tex]\boxed{2 \cdot 2^{k} > 2k + 3}[/tex], то неравенство [tex]\boxed{2^{n} > 2n + 1}[/tex] доказано методом математической индукции.