Ответ:

30.9

Число 999 НЕ является элементом последовательности

30.10

Число 1024 является элементом последовательности

Объяснение:

30.9

[tex]a_{1} = 1;a_{n + 1} = a_{n} + 3[/tex]

Вычисли несколько первых элементов последовательности:

[tex]n = 1; a_{1 + 1} = a_{2} = a_{1} + 3 = 1 + 3 = 4[/tex]

[tex]n = 2; a_{1 + 2} = a_{3} = a_{2} + 3 = 4 + 3 = 7[/tex]

[tex]n = 3; a_{1 + 3} = a_{4} = a_{3} + 3 = 7 + 3 = 10[/tex]

То есть можем сделать гипотезу о том, что рекурентна заданная функция [tex]a_{n}[/tex] может быть задана последовательностью [tex]b_{n} = 1 + 3n[/tex]

Однако при [tex]n = 1[/tex] последовательность [tex]b_{1} \neq 1[/tex], таким образом модифицируем нашу гипотезу следющим образом, что последовательность [tex]a_{n}[/tex] имеет подпосоедовательность [tex]b_{n}[/tex], то есть [tex]a_{1}[/tex], а последующие элементы [tex]a_{n}[/tex] являются элементами последовательности [tex]b_{n}[/tex] соотвественно.

Так как из условия  [tex]a_{n + 1} - a_{n} = 3[/tex], если это верно для последовательности [tex]b_{n}[/tex], то это подпоследовательность.

База индукции:

[tex]n = 1;[/tex]

[tex]b_{1} = 1 + 3 \cdot 1 = 1 + 3 = 4[/tex]

[tex]з = b_{1} - a_{1} = 4 - 1 = 3[/tex] - верно

Индуктивный переход:

[tex]n = k;[/tex]

[tex]b_{k} = 1 + 3k[/tex]

--------------------------------------------------------------

[tex]n = k + 1;[/tex]

[tex]b_{k + 1} = 1 + 3(k + 1) = 1 + 3k + 3 = 4 + 3k[/tex]

Необходимо доказать:

[tex]з = 3[/tex]

[tex]b_{k + 1} - b_{k} = 3[/tex]

[tex]4 + 3k - (1 + 3k) = 3[/tex]

[tex]4 + 3k - 1 - 3k = 3[/tex]

[tex]3 = 3[/tex]

То есть гипотеза, что [tex]b_{n}[/tex] - подпоследовательность [tex]a_{n}[/tex] для [tex]n > 1[/tex].

Проверим принадлежит ли число 999 последовательности [tex]b_{n}[/tex].

[tex]b_{n} = 999[/tex]

[tex]999 = 3n + 1[/tex]

[tex]998 = 3n|:3[/tex]

[tex]n = \dfrac{998}{3} \notin \mathbb N[/tex]

Следовательно число 999 не принадлежит последовательности [tex]a_{n}[/tex], так как не приндлжеит последовательности [tex]b_{n}[/tex].

30.10

[tex]b_{1} = 2; b_{n+1} = 2b_{n}[/tex]

Рассмотрим несколько первых элементов последовательности:

[tex]n = 1; b_{1 + 1} = b_{2} = 2b_{1} = 2\cdot 2 = 4[/tex]

[tex]n = 2; b_{1 + 2} = b_{3} = 2b_{2} = 2\cdot 4 = 8[/tex]

[tex]n = 3; b_{1 + 3} = b_{4} = 2b_{3} = 2\cdot 8 = 16[/tex]

Так как первый элемент последовательности 2 и мы умножаем 2, потом произвдение 2 * 2 умножаем на 2 и так далее, то любое число последовательности [tex]b_{n}[/tex] это [tex]2^{k}[/tex], где [tex]k \in \mathbb N[/tex].

Тогда если число 1024 является элементом последовательности, то существует такое число [tex]n \in \mathbb N[/tex], что [tex]2^{n} = 1024[/tex]

[tex]2^{n} = 1024[/tex]

[tex]2^{n} = 2^{10} \Longleftrightarrow n = 10[/tex]

Так как [tex]n = 10 \in \mathbb N[/tex], то число 1024 является элментом последовательности [tex]b_{n}[/tex].