Verified answer

Ответ:

[tex]\boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \int\limits^{+\infty}_{1} {\frac{1}{x^{2}} } \, dx = 1}}[/tex]

Примечание:

Признак Гейне:

Интеграл  [tex]\displaystyle \int\limits^{+\infty}_{a} { f(x)} \, dx[/tex]   сходится, если сходится ряд [tex]\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{+\infty} \int\limits^{A_{n}}_{A_{n - 1}} {f(x)} \, dx[/tex](при любом выборе последовательности [tex](A_{n} ) ,A_{0} = a, A_{n} \geq a, A_{n} \to + \infty)[/tex].

Признак Раабе:

Если для ряда  [tex]{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty } a_{n}[/tex] существует предел:

[tex]{\displaystyle R=\lim _{n\to \infty }n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)}[/tex]

то при [tex]R > 1[/tex] ряд сходится, а при [tex]R < 1[/tex] - расходится. Для [tex]R = 1[/tex] признак не позволяет дать однозначный ответ.

Объяснение:

[tex]\displaystyle \int\limits^{+\infty}_{1} {\frac{1}{x^{2}} } \, dx[/tex]- несобственный интеграл 1 рода

Для доказательства сходимости интеграла [tex]\displaystyle \int\limits^{+\infty}_{1} {\frac{1}{x^{2}} } \, dx[/tex] по признаку Гейне:

Зададим последовательность [tex]A_{n}[/tex], где [tex]A_{n} = n + 1[/tex] при [tex]n \in \mathbb N[/tex].

[tex]A_{n - 1} = n - 1 + 1= n[/tex]

[tex]n + 1 > 1[/tex], так как [tex]n > 0[/tex]

[tex]n + 1 \to +\infty[/tex] при [tex]n \to +\infty[/tex]

То есть по признаку Гейне необходимо доказать, что сходится ряд:

[tex]\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{+\infty} \int\limits^{A_{n}}_{A_{n - 1}} {f(x)} \, dx = \sum\limits_{n=1}^{+\infty} \int\limits^{n + 1}_n} {\frac{1}{x^{2} } } \, dx = \sum\limits_{n=1}^{+\infty} \int\limits^{n + 1}_n} {x^{-2} } \, dx = \sum\limits_{n=1}^{+\infty} \bigg(\frac{x^{-2 + 1}}{-2 + 1} \bigg|^{n+1}_{n} \bigg)=[/tex]

[tex]\displaystyle = \sum\limits_{n=1}^{+\infty} \bigg(-\frac{1}{x} \bigg|^{n+1}_{n} \bigg)= \sum\limits_{n=1}^{+\infty} \bigg(-\frac{1}{n + 1} - \bigg(-\frac{1}{n} \bigg) \bigg)= \sum\limits_{n=1}^{+\infty} \bigg(\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} \bigg)=[/tex]

[tex]\displaystyle = \sum\limits_{n=1}^{+\infty} \bigg(\frac{n + 1 - n}{n(n + 1)} \bigg)= \sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n(n + 1)}[/tex]

Пусть [tex]a_{n}= \dfrac{1}{n(n + 1)}[/tex], тогда [tex]a_{n + 1}= \dfrac{1}{(n + 1)(n + 2)}[/tex].

По признаку Раабе в предельной форме для [tex]\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{+\infty} a_{n}:[/tex]

[tex]\displaystyle R= \lim_{n \to \infty} n \Bigg ( \dfrac{\dfrac{1}{n(n + 1)}}{\dfrac{1}{(n + 1)(n + 2)}} - 1 \Bigg) = \lim_{n \to \infty} n \Bigg ( \frac{(n + 1)(n + 2)}{n(n +1)} - 1 \Bigg) =[/tex]

[tex]\displaystyle= \lim_{n \to \infty} n \Bigg ( \frac{(n + 2)}{n} - 1 \Bigg) =\lim_{n \to \infty} \Bigg ( \frac{n(n + 2)}{n} - n \Bigg) = \lim_{n \to \infty} (n + 2 - n) = \lim_{n \to \infty} 2 =2[/tex]

Так как [tex]R > 1 \ (2 > 1)[/tex], то по признаку Раабе ряд [tex]\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{+\infty} a_{n}[/tex] сходится и следовательно по признаку Гейне для несобственных интегралов 1 рода интеграл [tex]\displaystyle \int\limits^{+\infty}_{1} {\frac{1}{x^{2}} } \, dx[/tex] - сходится.

Вычислим интеграл с помощью несобственной двойной подстановки:

[tex]\displaystyle \int\limits^{+\infty}_{1} {\frac{1}{x^{2}} } \, dx = \bigg(-\frac{1}{x} \bigg|^{+\infty}_{1} \bigg) = \lim_{x \to \infty} -\frac{1}{x} - \bigg(-\frac{1}{1} \bigg)= 0 - (-1)=1[/tex]