Ответ:

[tex]\displaystyle \Big(1-\frac{1}{4}\Big)\Big(1-\frac{1}{9}\Big)\cdot \Big(1-\frac{1}{16}\Big)\cdot ...\cdot \ \Big(1-\frac{1}{(n-1)^2}\Big) \Big(1-\frac{1}{n^2}\Big)=\frac{n+1}{2n}\ ;[/tex]

Разности в скобках представим как дроби.

[tex]\displaystyle \Big(1-\frac{1}{4}\Big)\Big(1-\frac{1}{9}\Big)\cdot \Big(1-\frac{1}{16}\Big)\cdot ...\cdot \ \Big(1-\frac{1}{(n-1)^2}\Big) \Big(1-\frac{1}{n^2}\Big)=\\\\\\=\dfrac{2^2-1}{2^2}\cdot \frac{3^2-1}{3^2}\cdot \frac{4^2-1}{4^2}\cdot ...\cdot \frac{(n-1)^2-1}{(n-1)^2}\cdot \frac{n^2-1}{n^2}=\\\\\\=\frac{(2-1)(2+1)}{2^2}\cdot \frac{(3-1)(3+1)}{3^2}\cdot \frac{(4-1)(4+1)}{4^2}\cdot ...\cdot \frac{(n-1-1)(n-1+1)}{(n-1)^2}\cdot[/tex]

[tex]\displaystyle \cdot \frac{(n-1)(n+1)}{n^2}=\frac{1\cdot 3}{2^2}\cdot \frac{2\cdot 4}{3^2}\cdot \frac{3\cdot 5}{4^2}\cdot ...\cdot \frac{(n-2)\cdot n}{(n-1)^2}\cdot \frac{(n-1)\cdot (n+1)}{n^2}=[/tex]

Распишем поподробнее множители и сократим одинаковые

[tex]\displaystyle =\frac{1\cdot \not3}{2\, ^{\not2}}\cdot \frac{\not2\cdot \not4}{\not3^{\not2}}\cdot \frac{\not3\cdot \not5}{\not4^{\not2}}\cdot \frac{\not4\cdot \not6}{\not5^{\not2}}\cdot \frac{\not5\cdot \not7}{\not6^{\not2}}\cdot \frac{\not6\cdot \not8}{\not7^{\not2}}\cdot ...\cdot \frac{(n-2)\cdot \not{n}}{(n-1)^{2}}\cdot \frac{(n-1)\cdot (n+1)}{n^{\not2}}=[/tex]

От первых двух дробей останется только 2 в знаменателе и 1 в числителе . В последних двух дробях сократится (n-2) в числителе с (n-2) в знаменателе предыдущей дроби ,  (n-1) в числителе последней дроби с (n-1) в знаменателе предыдущей дроби и (n-1) в знаменателе предпоследней дроби с (n-1) в числителе предыдущей дроби. Ну и n с n² сократятся .Останется только (n+1) в числителе и n в знаменателе .

[tex]=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{n+1}{n}=\dfrac{n+1}{2n}\ ;[/tex]

[tex]\dfrac{n+1}{2n}=\dfrac{n+1}{2n}[/tex]

Ответ:

Согласно методу математической индукции (смотрите фотографии) докажем равенство

[tex]n \in \mathbb N; n \geq 2[/tex]

[tex]\displaystyle \bigg(1 - \frac{1}{4} \bigg) \bigg(1 - \frac{1}{9} \bigg)\bigg(1 - \frac{1}{16} \bigg) \cdot \ldots \cdot \bigg ( 1 - \frac{1}{n^{2}} \bigg) = \frac{n + 1}{2n}[/tex]

Проверим, то что утверждение выполняется для какого-то конкретного n, то есть в данном случае для n = 2. Этот этап проверки еще называю базой математической индукции.

[tex]n = 2; 1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{4}{4} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{4 - 1}{4} = \dfrac{3}{4} = \dfrac{2 + 1}{2 \cdot 2} = \dfrac{3}{4}[/tex]

Предположим, что для какого-то k утверждение верно, то есть мы предполагаем, что равенство выполняется.

[tex]n = k; \boxed{ \displaystyle \bigg(1 - \frac{1}{4} \bigg) \bigg(1 - \frac{1}{9} \bigg)\bigg(1 - \frac{1}{16} \bigg) \cdot \ldots \cdot \bigg ( 1 - \frac{1}{k^{2}} \bigg) = \frac{k + 1}{2k}}[/tex]верно

Теперь докажем, что элемента следующего за k (то есть для k + 1) равенство также выполняется и если это удастся доказать, то есть получить справа и слева одинаковое равенство. Такой переход называют индуктивным.  

[tex]n = k + 1;[/tex]

[tex]\displaystyle \underbrace{ \bigg(1 - \frac{1}{4} \bigg) \bigg(1 - \frac{1}{9} \bigg)\bigg(1 - \frac{1}{16} \bigg) \cdot \ldots \cdot \bigg ( 1 - \frac{1}{k^{2}} \bigg) }_{\dfrac{k + 1}{2k}} \cdot \bigg ( 1 - \frac{1}{(k + 1)^{2}} \bigg) = \frac{k + 1 + 1}{2( k + 1)}[/tex]

[tex]\bigg (\dfrac{k + 1}{2k} \bigg) \cdot \bigg ( 1 - \dfrac{1}{(k + 1)^{2}} \bigg) = \dfrac{k + 1 + 1}{2( k + 1)}[/tex]

------------------------------------------------------------------------

а)

[tex]\dfrac{k + 1 + 1}{2( k + 1)} = \dfrac{k + 2}{2k + 2}[/tex]

б)

[tex]\bigg ( 1 - \dfrac{1}{(k + 1)^{2}} \bigg) = \dfrac{(k + 1)^{2}}{(k + 1)^{2}} - \dfrac{1}{(k + 1)^{2}} = \dfrac{(k + 1)^{2} - 1}{(k + 1)^{2}}[/tex]

----------------------------------------------------------------------------

[tex]\dfrac{(k + 1)}{2k} \cdot \dfrac{((k + 1)^{2} - 1)}{(k + 1)^{2}} = \dfrac{k + 2}{2k + 2}[/tex]

[tex]\dfrac{1}{2k} \cdot \dfrac{((k + 1)^{2} - 1)}{(k + 1)} = \dfrac{k + 2}{2k + 2}[/tex]

[tex]\dfrac{(k^{2} + 2k + 1 - 1)}{2k(k + 1)} = \dfrac{k + 2}{2k + 2}[/tex]

[tex]\dfrac{(k^{2} + 2k + 1 - 1)}{2k(k + 1)} = \dfrac{k + 2}{2k + 2}[/tex]

[tex]\dfrac{(k^{2} + 2k)}{2k(k + 1)} = \dfrac{k + 2}{2k + 2}[/tex]

[tex]\dfrac{k(k + 2)}{2k(k + 1)} = \dfrac{k + 2}{2k + 2}[/tex]

[tex]\dfrac{(k + 2)}{2(k + 1)} = \dfrac{k + 2}{2k + 2}[/tex]

[tex]\dfrac{k + 2}{2k + 2} = \dfrac{k + 2}{2k + 2}[/tex]

Так как правую и левую часть тождества

[tex]\displaystyle \bigg(1 - \frac{1}{4} \bigg) \bigg(1 - \frac{1}{9} \bigg)\bigg(1 - \frac{1}{16} \bigg) \cdot \ldots \cdot \bigg ( 1 - \frac{1}{n^{2}} \bigg) = \frac{n + 1}{2n}[/tex]

путем равносильных преобразований удалось свести к равному выражению, тогда

[tex]\dfrac{k + 2}{2k + 2} = \dfrac{k + 2}{2k + 2}[/tex]

первоначально утверждение доказано методом математической индукции.