Verified answer

Ответ:

Для того, чтобы доказать, что

|a₁ + a₂ + a₃ + . . . + aₙ| = |a₁| + |a₂| + |a₃| + . . . + |aₙ|

используем метод математической индукции

1. покажем, что утверждение верно для n = 1:

n = 1;

|a₁| = |a₁|

А так как |a₁| = |a₁|, то утверждение верно для n = 1

2. предположим, что утверждение верно для любого n = k:

n = k;

[tex]\boxed{ |a_{1} + a_{2} + a_{3} + \ldots + a_{k} | \leq |a_{1}| + |a_{2}| + |a_{3}| + \ldots + |a_{k} |}[/tex] - пусть верно

[tex]|a_{1}| + |a_{2}| + |a_{3}| + \ldots + |a_{k} | - |a_{1} + a_{2} + a_{3} + \ldots + a_{k} | \geq 0[/tex]

3. покажем, что при допущении 2. утверждение верно и для n = k + 1:

[tex]|a_{1}| + |a_{2}| + |a_{3}| + \ldots + |a_{k} | + |a_{k + 1}| - |a_{1} + a_{2} + a_{3} + \ldots + a_{k} + a_{k+ 1} | \geq 0[/tex]

Так как мы предполагаем, что верно

[tex]|a_{1}| + |a_{2}| + |a_{3}| + \ldots + |a_{k} | - |a_{1} + a_{2} + a_{3} + \ldots + a_{k} | \geq 0[/tex]

то для n = k + 1 необходимо доказать, что [tex]|a_{k} }| \geq a_{k}[/tex], а это верно так как модуль числа больше или равен чем само число, то есть методом математической индукции исходное утверждение доказано, то есть  

|a₁ + a₂ + a₃ + . . . + aₙ| = |a₁| + |a₂| + |a₃| + . . . + |aₙ|

Ч.Т.Д