Найти разность арифметической прогрессии с первым членом, равным 1, у которого S...

July 2022 2 5 Report

Найти разность арифметической прогрессии с первым членом, равным 1, у которого Sm:Sn= m^2:n^2, где Sm-сумма m первых членов , Sn-сумма n членов

vajny

По известной формуле распишем сумму m и n первых членов арифметической прогрессии:

$S_{m}=\frac{2a_{1}+d(m-1)}{2}*m,$

$S_{n}=\frac{2a_{1}+d(n-1)}{2}*n.$

Из условия получим следующее уравнение:

$\frac{(2a_{1}+d(m-1))*m}{(2a_{1}+d(n-1))*n}\ =\ \frac{m^2}{n^2}.$

Или, раскрыв пропорцию, получим:

$2a_{1}n+dn(m-1)\ =\ 2a_{1}m+dm(n-1).$

$2a_{1}(n-m)\ +\ d(mn-n-mn+m)\ =\ 0,$

$(n-m)(2a_{1}-d)\ =\ 0.$

Так как $n\neq\ m,$ получим:

$d\ =\ 2a_{1}\ =\ 2.$

Ответ: 2.

1 votes Thanks 0

troleg

Пусть D - разность прогрессии.

Тогда Sm = (1+1+D*(m-1))*m=(D*m-D+2)*m

Следовательно

(D*m-D+2)*m m^2 D*m-D+2 m

----------------- = ------- , откуда ------------ = -----

(D*n-D+2)*n n^2 D*n-D+2 n

D*m*n-D*n+2*n=D*m*n-D*m+2*m

D*(m-n)=2*(m-n) . Поскольку m и n - разные числа, то D = 2

1 votes Thanks 0