Ответ:

(см. объяснение)

Объяснение:

[tex]\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{3y^2}{x^4}\right)dx-\dfrac{2y}{x^3}dy=0[/tex]

Пусть [tex]N=\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{3y^2}{x^4}[/tex] и [tex]M=-\dfrac{2y}{x^3}[/tex].

[tex]\dfrac{\partial N}{\partial y}=\dfrac{6y}{x^4}=\dfrac{\partial M}{\partial x}[/tex]

Тогда имеем дело с уравнением в полных дифференциалах.

[tex]$\dfrac{\partial F}{\partial y}=-\dfrac{2y}{x^3},\;\Rightarrow\;F=\int -\dfrac{2y\,\mathrm{d}y}{x^3}=-\dfrac{y^2}{x^3}+f(x)$[/tex]

[tex]$\dfrac{\partial F}{\partial x}=\dfrac{3y^2}{x^4}+f'(x)=\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{3y^2}{x^4},\;\Rightarrow\;f'(x)=\dfrac{1}{x^2},\;\Rightarrow\;f(x)=\int\dfrac{\mathrm{d}x}{x^2}=-\dfrac{1}{x}$[/tex]

Подставляем [tex]f(x)[/tex] в [tex]F:[/tex]

[tex]-\dfrac{y^2}{x^3}-\dfrac{1}{x}=C,\;\Rightarrow\;\dfrac{y^2}{x^3}+\dfrac{1}{x}=\widetilde{C}[/tex]

Уравнение решено!

Ответ:

 [tex]y=\pm x\sqrt{Cx-1}.[/tex]

Объяснение:

                          [tex]\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{3y^2}{x^4}\right)\, dx-\dfrac{2y}{x^3}\right)\, dy=0[/tex]              

               [tex]-d\left(x^{-1}\right)-\left(y^2d\left(x^{-3}\right)+x^{-3}\,d\left(y^2\right)\right)=0;[/tex]

                                [tex]d\left(x^{-1}\right)+d\left(y^2x^{-3}\right)=0;[/tex]

                                   [tex]d\left(x^{-1}+y^2x^{-3}\right)=0;[/tex]

                                      [tex]x^{-1}+y^2x^{-3}=C;[/tex]

               [tex]x^2+y^2=Cx^3;\ y^2=Cx^3-x^2;\ y=\pm\sqrt{Cx^3-x^2}.[/tex]