4)     Найдем точки пересечения параболы и прямой, решив систему уравнений:

         у = kx - 4

         у =  x² + x + 5

    x² + x + 5 = kx - 4

    x² + x + 5 - kx + 4 = 0

    x² + x - kx + 9 = 0

    x² + (1- k)x + 9 = 0

             D = (1- k)²  - 4*1*9  =  1 - 2k + k ² - 36  = k ² - 2k  - 35

По условию прямая и парабола пересекаются в двух точках = >  система уравнений  имеет 2 решения   = >  и квадратное уравнение имеет 2 решения   = >  D> 0

Решаем неравенство

                                      k ² - 2k  - 35 > 0

                        D =  4 + 4*35 = 144     √D = 12

                         k₁  = ( 2+12 ) /2 = 7

                         k₂  = ( 2-12 ) /2 = -5

                          ( х - 7)(х + 5) > 0

  +                                                                                              +

_____________-5__________________________ 7______________________

                                                  -

=>   D> 0   при  k∈ ( -∞ ; -5) ∨ (7; +∞)   но т.к. по условию  k  положительно, то подходит только промежуток  (7; +∞)

Ответ:   k∈  (7; +∞).