1. Надем угол при основании трапеции. Проведем из вершины малого основания на большое высоту. Она отсечет от основания отрезок (2*а - а)/2 = а/2.
Косинус угла при основании равен 1/2, то есть это 60 градусов. Отсюда следует сразу много интересного, но самое интересное, что диагональ перпендиклярна боковой стороне (это можно понять так - углы при малом основании 120 градусов, значит, малое основание, боковая сторона и диагональ образуют равнобедренный треугольник с углом при вершине 180 - 60 = 120 градусов, значит угол при основании в этом треугольнике (180 - 120)/2 = 30 градусов, а следовательно, диагональ образует с большим основание угол 60 - 30 = 30 градусов, а следовательно третий угол в нашем треугольнике - 90 градусов)(а можно сразу это увидеть, если продлить боковые стороны до пересечения, получится равносторонний треугольник, в котором эта диагональ - медиана, а значит и всё остальное :))
2. Можно конечно выразить все эти величины - высоту трапеции и диагональ - через величину стороны, но делать этого не нужно совсем. Достаточно понять, что высота трапеции в 2 раза меньше диагонали (это, типа, синус 30 градусов...)
3. Вот, длинная совершенно очевидная литературная часть закончена :) а далее - само решение:)
Если Н - расстояние от вершины малого основания до плоскости, h - высота трапеции, d - диагональ, (бета) - искомый двугранный угол, то
H/d = sin(альфа); H/h = sin(бета).
sin(бета) = (d/h)*sin(альфа) = 2*sin(альфа); вообще то это все, но раз задан косинус, сосчитаем.
Answers & Comments
Verified answer
1. Надем угол при основании трапеции. Проведем из вершины малого основания на большое высоту. Она отсечет от основания отрезок (2*а - а)/2 = а/2.
Косинус угла при основании равен 1/2, то есть это 60 градусов. Отсюда следует сразу много интересного, но самое интересное, что диагональ перпендиклярна боковой стороне (это можно понять так - углы при малом основании 120 градусов, значит, малое основание, боковая сторона и диагональ образуют равнобедренный треугольник с углом при вершине 180 - 60 = 120 градусов, значит угол при основании в этом треугольнике (180 - 120)/2 = 30 градусов, а следовательно, диагональ образует с большим основание угол 60 - 30 = 30 градусов, а следовательно третий угол в нашем треугольнике - 90 градусов)(а можно сразу это увидеть, если продлить боковые стороны до пересечения, получится равносторонний треугольник, в котором эта диагональ - медиана, а значит и всё остальное :))
2. Можно конечно выразить все эти величины - высоту трапеции и диагональ - через величину стороны, но делать этого не нужно совсем. Достаточно понять, что высота трапеции в 2 раза меньше диагонали (это, типа, синус 30 градусов...)
3. Вот, длинная совершенно очевидная литературная часть закончена :) а далее - само решение:)
Если Н - расстояние от вершины малого основания до плоскости, h - высота трапеции, d - диагональ, (бета) - искомый двугранный угол, то
H/d = sin(альфа); H/h = sin(бета).
sin(бета) = (d/h)*sin(альфа) = 2*sin(альфа); вообще то это все, но раз задан косинус, сосчитаем.
cos(бета) = корень(1 - (sin(бета))^2) = корень(1 - 4*(sin(альфа))^2) =
= корень(4*(cos(бета))^2 - 3) = корень(0,16) = 0,4