..............................................................................Решить неравенство. Created by vityamath. algebra-ru

Данное неравенство равносильно системе неравенств:Нули модулей: Раскроем модули на пяти участках, используя правило раскрытия модуля:Учитывая условие, Учитывая условие, Учитывая условие, Учитывая условие, Нет решений.Объединим все пять случаев решения:Имеем:Находим пересечение решений:Ограничения: Учитывая условие, Объединяем решения:Получили решения обоих неравенств в системе неравенств:Находим пересечение решений:Ответ:

Решить неравенство...

vityamath @vityamath

July 2022 1 51 Report

..............................................................................
Решить неравенство

Answers & Comments

nikebod313

$\displaystyle \left \{ {{\dfrac{|x^{2} - 2x - 6| - |x^{2} - 6|}{\sqrt{6 - x - x^{2}} } \geq 0,} \atop {\sqrt{9 - x^{2}} + \dfrac{|x|}{x} \geq 0} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \right.$

$1) \ \dfrac{|x^{2} - 2x - 6| - |x^{2} - 6|}{\sqrt{6 - x - x^{2}} } \geq 0$

Данное неравенство равносильно системе неравенств:

$\displaystyle \left \{ {|x^{2} - 2x - 6| - |x^{2} - 6| \geq 0,} \atop {6 - x - x^{2} > 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }} \right.$

$1.1) \ |x^{2} - 2x - 6 | - |x^{2} - 6| \geq 0$

Нули модулей:

$\displaystyle \left [ {{x^{2} - 2x - 6 = 0, } \atop {x^{2} - 6 = 0 \ \ \ \ \ \ \ \, }} \right. \ \ \ \left [ {{x_{1,2} = 1 \pm \sqrt{7}} \atop {x_{3,4} = \pm \sqrt{6} \ \ \, }} \right.$

Раскроем модули на пяти участках, используя правило раскрытия модуля:

$|f(x)| = \displaystyle \left \{ {{f(x), \ f(x) \geq 0, \ \, } \atop {-f(x), \ f(x) < 0}} \right.$

$\text{I}) \ x \in (-\infty; \ -\sqrt{6})$

$(x^{2} - 2x - 6) - (x^{2} - 6) \geq 0$

$x^{2} - 2x - 6 - x^{2} + 6 \geq 0$

$-2x \geq 0$

$x \leq 0$

Учитывая условие, $x \in (-\infty; \ -\sqrt{6})$

$\text{II}) \ x \in [-\sqrt{6}; \ 1 - \sqrt{7}]$

$(x^{2} - 2x - 6) - (-(x^{2} - 6)) \geq 0$

$x^{2} - 2x - 6 + x^{2} - 6 \geq 0$

$2x^{2} - 2x - 12 \geq 0$

$x^{2} - x - 6 \geq 0$

$(x + 2)(x - 3) \geq 0$

$x \in (-\infty; \ -2] \cup [3; \ +\infty)$

Учитывая условие, $x \in [-\sqrt{6}; \ -2]$

$\text{III}) \ x \in (1 - \sqrt{7}; \ \sqrt{6})$

$-(x^{2} - 2x - 6) - (-(x^{2} - 6)) \geq 0$

$-x^{2} + 2x + 6 + x^{2} - 6 \geq 0$

$2x \geq 0$

$x \geq 0$

Учитывая условие, $x \in [0; \ \sqrt{6})$

$\text{IV}) \ x \in [\sqrt{6}; \ 1 +\sqrt{7}]$

$-(x^{2} - 2x - 6) - (x^{2} - 6) \geq 0$

$-x^{2} + 2x + 6 - x^{2} + 6 \geq 0$

$-2x^{2} + 2x + 12 \geq 0$

$x^{2} - x - 6 \leq 0$

$(x + 2)(x - 3) \leq 0$

$x \in [-2; \ 3]$

Учитывая условие, $x \in [\sqrt{6}; \ 3]$

$\text{V}) \ x \in (1 + \sqrt{7}; \ +\infty)$

$(x^{2} - 2x - 6) - (x^{2} - 6) \geq 0$

$x \leq 0$

Нет решений.

Объединим все пять случаев решения:

$x \in (-\infty; \ -2] \cup [0; \ 3]$

$1.2) \ 6 - x - x^{2} > 0$

$x^{2} + x - 6 < 0$

$(x + 3)(x - 2)< 0$

$x \in (-3; \ 2)$

Имеем:

$\displaystyle \left \{ {{x \in (-\infty; \ -2] \cup [0; \ 3]} \atop {x \in (-3; \ 2) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \,}} \right.$

Находим пересечение решений:

$x \in (-3; \ -2] \cup [0; \ 2)$

$2) \ \sqrt{9 - x^{2}} + \dfrac{|x|}{x} \geq 0$

Ограничения:

$\displaystyle \left \{ {{9 - x^{2} \geq 0,} \atop {x \neq 0 \ \ \ \ \ \ \ }} \right. \ \ \ \ \ \ \left \{ {{x \in [-3; \ 3] \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \, } \atop {x \in (-\infty; \ 0) \cup (0; \ +\infty)} } \right.$

$x \in [-3; \ 0) \cup (0; \ 3]$

$2.1) \ x \in [-3; \ 0)$

$\sqrt{9 - x^{2}} + \dfrac{-x}{x} \geq 0$

$\sqrt{9 - x^{2}} \geq 1$

$(\sqrt{9 - x^{2}})^{2} \geq 1^{2}$

$9 - x^{2} \geq 1$

$x^{2} - 8 \leq 0$

$(x - 2\sqrt{2})(x + 2\sqrt{2}) \leq 0$

$x \in [-2\sqrt{2}; \ 2\sqrt{2}]$

Учитывая условие, $x \in [-2\sqrt{2}; \ 0)$

$2.2) \ x \in (0; \ 3]$

$\sqrt{9 - x^{2}} + \dfrac{x}{x} \geq 0$

$\sqrt{9 - x^{2}} \geq -1$

$x \in (0; \ 3]$

Объединяем решения:

$x \in [-2\sqrt{2}; \ 0) \cup (0; \ 3]$

Получили решения обоих неравенств в системе неравенств:

$\displaystyle \left \{ {{x \in (-3; \ -2] \cup [0; \ 2) \ \, } \atop {x \in [-2\sqrt{2}; \ 0) \cup (0; \ 3]}} \right.$

Находим пересечение решений:

$x \in [-2\sqrt{2}; \ -2] \cup (0; \ 2)$

Ответ: $x \in [-2\sqrt{2}; \ -2] \cup (0; \ 2)$

3 votes Thanks 1

vityamath спасибо огромное, очень длинное неравенство

vityamath для 9 класса оно вообще трудно, по вашему мнению?

nikebod313 Девятиклассникам это вполне по силам решить, кто хорошо разбирается в математике. Здесь есть все темы, которые прошли в 9-м классе: решение неравенств с модулем, с квадратными корнями; решение дробно-рациональных неравенств; решение систем неравенств. Здесь эта система неравенств повышенного уровня сложности.

nikebod313 Обычным школьникам это трудно будет решать, а тем, кто учиться в классе с математическим уклоном или в гимназии, - вполне не сложно.

LFP чуть короче решение получится, если использовать формулу: |x|=√(x²) и тогда сравнение двух модулей |a|-|b| > 0 <=> |a| > |b| равносильно √(a²) > √(b²) <=> a² > b² <=> a² - b² > 0 формула разность квадратов... |х²-2х-6| > |х²-6| <=> (-2х)*2*(х²-х-6) > 0... корни по т.Виета (устно) без иррациональности...

nikebod313 Ещё дополнительно придеться учесть ОДЗ каждого из подкоренных выражений.

nikebod313 Хотя нет, не придется. Да, хороший вариант решения.

mmb1 согласен что |a| >= |b| a² >= b² (a -b)(a + b) >=0
две положительных величины возводи в любую натуральную степень никаких дополнительных ограничений при этом не возникнет.

Answers & Comments

tex]

01 64783e17012ff

tex]

reshite dannoe neravenstvo79d1e020e86cf046e34027c0a4cfb171 91313

reshite uravnenie09b3a3ba41733734fcd81cb661c5148e 83439

ucheniku skazali reshit neravenstvo x2gt0 poluchil takoe reshenie xgt0 v chem

reshite pozhalujsta zadachu 219

reshite pozhalujsta anglijskij vybrat vernyj otvet mr john is from ireland

tex]...

iz urny soderzhashej 5 pronumerovannyh sharov naugad vynimayut odin shar posle vyn

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social