решите систему неравенств в действительных числах. Created by vityamath. algebra-ru

Ответ:(см. объяснение)Объяснение:Рассмотрим сначала вторую строку системы, так как с первой все предельно просто.Здесь видим, что в числителе и знаменателе дроби присутствует восьмая степень. И если в числителе хотя бы угадываются два корня (-1 и 1), то со знаменателем все гораздо хуже. Поэтому первым делом попробуем с ним что-нибудь сделать. Будем выполнять преобразования по шагам.Шаг 1 | Представим , как :Шаг 2 | Заметим в получившемся выражении квадрат разности:Шаг 3 | Вынесем за скобки:Шаг 4 | Представим , как :Шаг 5 | Заметим в получившемся выражении квадрат разности:Шаг 6 (необязательный) | Раскроем скобки:Получили, что .Тогда исходной дроби равносильно:Откуда следует, что .Первое неравенство системы можно решить, просто раскрыв скобки, приведя подобные и разложив на множители.Тогда:Найдем теперь пересечение:Задание выполнено!

решите систему неравенств в действительных числах...

vityamath @vityamath

July 2022 1 34 Report

решите систему неравенств в действительных числах

Answers & Comments

MrSolution

Ответ:

(см. объяснение)

Объяснение:

Рассмотрим сначала вторую строку системы, так как с первой все предельно просто.

$\dfrac{x^8+x^6-4x^4+x^2+1}{x^8-x^5+x^2-x+1}>0$

Здесь видим, что в числителе и знаменателе дроби присутствует восьмая степень. И если в числителе хотя бы угадываются два корня (-1 и 1), то со знаменателем все гораздо хуже. Поэтому первым делом попробуем с ним что-нибудь сделать. Будем выполнять преобразования по шагам.

Шаг 1 | Представим $x^2$ , как $\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{3x^2}{4}$ :

$x^8-x^5+x^2-x+1=x^8-x^5+\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{3x^2}{4}-x+1$

Шаг 2 | Заметим в получившемся выражении квадрат разности:

$x^8-x^5+\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{3x^2}{4}-x+1=\left(x^4-\dfrac{x}{2}\right)^2+\dfrac{3x^2}{4}-x+1$

Шаг 3 | Вынесем $\dfrac{3}{4}$ за скобки:

$\left(x^4-\dfrac{x}{2}\right)^2+\dfrac{3x^2}{4}-x+1=\left(x^4-\dfrac{x}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\left(x^2-\dfrac{4}{3}x+\dfrac{4}{3}\right)$

Шаг 4 | Представим $\dfrac{4}{3}$ , как $\dfrac{4}{9}+\dfrac{8}{9}$ :

$\left(x^4-\dfrac{x}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\left(x^2-\dfrac{4}{3}x+\dfrac{4}{3}\right)=\left(x^4-\dfrac{x}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\left(x^2-\dfrac{4}{3}x+\dfrac{4}{9}+\dfrac{8}{9}\right)$

Шаг 5 | Заметим в получившемся выражении квадрат разности:

$\left(x^4-\dfrac{x}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\left(x^2-\dfrac{4}{3}x+\dfrac{4}{9}+\dfrac{8}{9}\right)=\left(x^4-\dfrac{x}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\left(\left(x-\dfrac{2}{3}\right)^2+\dfrac{8}{9}\right)$

Шаг 6 (необязательный) | Раскроем скобки:

$\left(x^4-\dfrac{x}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\left(\left(x-\dfrac{2}{3}\right)^2+\dfrac{8}{9}\right)=\left(x^4-\dfrac{x}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\left(x-\dfrac{2}{3}\right)^2+\dfrac{2}{3}$

Получили, что $x^8-x^5+x^2-x+1\ge\dfrac{2}{3}$ .

Тогда исходной дроби равносильно:

$x^8+x^6-4x^4+x^2+1>0$

Откуда следует, что $x\in(-\infty;\;-1)\cup(-1;\;1)\cup(1;\;+\infty)$ .

Первое неравенство системы можно решить, просто раскрыв скобки, приведя подобные и разложив на множители.

Тогда:

$(6x+5)(3x+2)(x+1)$

Найдем теперь пересечение:

$x\in(-\infty;\;-1)\cup\left(-1;\;\dfrac{1}{3}\right)$

Задание выполнено!

7 votes Thanks 2

bb573878 Нет расчётов решения числителя второго неравенства и неполное решение первого неравенства

MrSolution Смысл этого задания как раз в том, чтобы разобраться со знаменателем дроби. На таких уровнях сложности уже ежу понятно, что числитель дроби - это (x-1)^2(x+1)^2(x^4+3x^2+1). То же про первое неравенство. Подобные расчеты сделали бы решение громоздким и из него сложно было бы выбрать суть, ради которой задавался вопрос.

bb573878 То что знаменатель больше нуля, можно доказать гораздо проще, чем ваши громоздкие вычисления, надо просто рассмотреть три случая: х<0; х=0; х >0

Answers & Comments

tex]

01 64783e17012ff

tex]

reshite dannoe neravenstvo79d1e020e86cf046e34027c0a4cfb171 91313

reshite uravnenie09b3a3ba41733734fcd81cb661c5148e 83439

ucheniku skazali reshit neravenstvo x2gt0 poluchil takoe reshenie xgt0 v chem

reshite pozhalujsta zadachu 219

reshite pozhalujsta anglijskij vybrat vernyj otvet mr john is from ireland

tex]...

iz urny soderzhashej 5 pronumerovannyh sharov naugad vynimayut odin shar posle vyn

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social