Verified answer

Ответ:

Между числами  [tex]\sqrt{k^{2} + k + 1}[/tex] и [tex]\sqrt{9k^{2} + k + 1}[/tex] находится [tex]2k[/tex] целых чисел

Пошаговое объяснение:

[tex]k \in \mathbb N[/tex]

Рассмотрим подкоренные выражения [tex]\sqrt{k^{2} + k + 1}[/tex] и [tex]\sqrt{9k^{2} + k + 1}[/tex]

Рассмотрим выражение [tex]k^{2} + k + 1[/tex], в данном выражение элемент [tex]k^{2}[/tex] растет быстрее чем [tex]k + 1[/tex], докажем, что прибавки [tex]k + 1[/tex] к [tex]k^{2}[/tex] недостаточно для того, чтобы достичь следующего натурального квадрата, то есть для натуральных [tex]k[/tex] выполняется неравенство:

[tex]k^{2} + k + 1 < (k + 1)^{2}[/tex]

[tex]k^{2} + k + 1 < k^{2} + 2k + 1[/tex]

[tex]k < 2k|:k[/tex] (можем делить на k, так как по условию [tex]k \in \mathbb N[/tex])

[tex]1 < 2[/tex], таким образом для все натуральных k данное неравенство

То есть при любом [tex]k[/tex] добавки [tex]k + 1[/tex] к [tex]k^{2}[/tex] не даст квадрата числа большего чем k², а так как нас интересуют, только целые числа, то есть целая часть от корня, то [tex]\sqrt{k^{2} + k + 1} = \sqrt{k^{2}} = k[/tex]

Так как [tex]9k^{2} > k^{2}[/tex], то для подкоренного выражения [tex]\sqrt{9k^{2} + k + 1}[/tex] выполняется тоже самое, что и для [tex]\sqrt{k^{2} + k + 1}[/tex], таким образом

[tex]\sqrt{9k^{2} + k + 1} = \sqrt{9k^{2}} = 3k[/tex]

----------------------------------------------------

Таки образом целых чисел между  [tex]\sqrt{k^{2} + k + 1}[/tex] и [tex]\sqrt{9k^{2} + k + 1}[/tex], есть выражение:

[tex]\sqrt{9k^{2} + k + 1} -\sqrt{k^{2} + k + 1} = 3k - k = 2k = 2k[/tex], так как [tex]k \in \mathbb N[/tex].

Так как число [tex]\sqrt{k^{2} + k + 1}[/tex] чуть больше чем [tex]k[/tex], а [tex]\sqrt{9k^{2} + k + 1}[/tex] чуть больше чем [tex]3k[/tex], то как раз между этими числами находится именно [tex]2k[/tex] целых чисел.

То есть между числами  [tex]\sqrt{k^{2} + k + 1}[/tex] и [tex]\sqrt{9k^{2} + k + 1}[/tex] находится [tex]2k[/tex] целых чисел.