Ответ:

Рассмотрим множество A, заданное в условии:

и множество натуральных чисел ℕ. Замечу, что при любом k дробь вида является несократимой, то есть если выписывать такие дроби, начиная с k = 1 и увеличивая каждый раз переменную k на 1, ни одна из них не повторится (так как знаменатель постоянно увеличивается).

Покажем, что между этими двумя множествами можно установить взаимно однозначное соответствие. Для этого всем дробям вида , где , поставим в соответствие число . С одной стороны, согласно построению каждой такой дроби будет соответствовать натуральное , притом единственное. С другой стороны, для каждого натурального можно указать единственную (смотри замечание в предыдущем абзаце) дробь вида , и все они будут принадлежать множеству A, поскольку пробегает все натуральные значения. Итак, построенное соответствие действительно взаимно однозначное. А раз множество ℕ счетное, то и множество A также счетное.