[tex]cos\sqrt{a^2-x^2} =1[/tex] при каких a уравнение имеет ровно 8 корней. Created by vityamath. algebra-ru

Ответ:Объяснение:Все ненулевые решения разбиваются на пары . Чтобы у уравнения было 8 корней, у него должно быть ровно 4 положительных корня, и 0 не должен являться корнем. Дальше будем думать только о неотрицательных корнях.Уравнение с косинусом легко решается: — функция, которая убывает от до , принимая все значения от до 0. Значит, чтобы условие было выполнено, в промежуток должны попасть ровно 4 числа вида . Понятно, что в промежуток попадут 0, 2π, 4π, 6π — и не попадут 8π и т.д.Условие этого: При этом не должен быть решением, поэтому , . Это удалит из решения и .

tex] при каких a уравнение имеет ровно 8 корней...

vityamath @vityamath

July 2022 1 62 Report

[tex]cos\sqrt{a^2-x^2} =1[/tex]
при каких a уравнение имеет ровно 8 корней

Answers & Comments

nelle987

Verified answer

Ответ:

$a\in(-8\pi,6\pi)\cup(6\pi,8\pi)$

Объяснение:

Все ненулевые решения разбиваются на пары $x, -x$ . Чтобы у уравнения было 8 корней, у него должно быть ровно 4 положительных корня, и 0 не должен являться корнем. Дальше будем думать только о неотрицательных корнях.

Уравнение с косинусом легко решается:

$\cos\sqrt{a^2-x^2}=1\Leftrightarrow \sqrt{a^2-x^2}=2\pi n,\; n\in\mathbb Z$

$f(x)=\sqrt{a^2-x^2}$ — функция, которая убывает от $x = 0$ до $x = |a|$ , принимая все значения от $|a|$ до 0.

Значит, чтобы условие было выполнено, в промежуток $[0, |a|)$ должны попасть ровно 4 числа вида $2\pi n$ . Понятно, что в промежуток попадут 0, 2π, 4π, 6π — и не попадут 8π и т.д.