tex] Все это равенство n радикалов...

July 2022 1 36 Report

Докажите равенство
[tex]\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{...+\sqrt{2} } } } } =2cos\frac{\pi }{2^{n+1} }[/tex]
Все это равенство n радикалов

Answers & Comments

guvanch021272

Ответ:

Объяснение:

Формула:

$\frac{1+cos2x}{2} =cos^{2}x$

$S(n)=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{...+\sqrt{2} } } } }$

S(n) - n радикалов

Используем метод мат индукции

1) Покажем верность равенства при n=1, 2, 3

$S(1)=\sqrt{2}=2cos\frac{\pi }{4}=2cos\frac{\pi }{2^{2} }$

$S(2)=\sqrt{2+\sqrt{2} }=\sqrt{2+2cos\frac{\pi }{4} }=2\sqrt{\frac{1+cos\frac{\pi }{4}}{2} } =2\sqrt{cos^{2}\frac{\pi }{8} } =2cos\frac{\pi }{8}=2cos\frac{\pi }{2^{3} }$

$S(3)=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2} } }=\sqrt{2+2cos\frac{\pi }{8} }=2\sqrt{\frac{1+cos\frac{\pi }{8}}{2} } =2\sqrt{cos^{2}\frac{\pi }{16} } =2cos\frac{\pi }{16}=2cos\frac{\pi }{2^{4} }$

2) Предположим, что равенство верно при n=k

$S(k)=2cos\frac{\pi }{2^{k+1} }$

3) Покажем, , что равенство верно при n=k+1

$S(k+1)=\sqrt{2+S(k) }=\sqrt{2+2cos\frac{\pi }{2^{k+1} } }=2\sqrt{\frac{1+cos\frac{\pi }{2^{k+1} }}{2} } =2\sqrt{cos^{2}\frac{\pi }{2^{k+2} } } =2cos\frac{\pi }{2^{k+2}}$

Ч.т.д.

3 votes Thanks 4

Answers & Comments

tex]

01 64783e17012ff

tex]

reshite dannoe neravenstvo79d1e020e86cf046e34027c0a4cfb171 91313

reshite uravnenie09b3a3ba41733734fcd81cb661c5148e 83439

ucheniku skazali reshit neravenstvo x2gt0 poluchil takoe reshenie xgt0 v chem

reshite pozhalujsta zadachu 219

reshite pozhalujsta anglijskij vybrat vernyj otvet mr john is from ireland

tex]...

iz urny soderzhashej 5 pronumerovannyh sharov naugad vynimayut odin shar posle vyn

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social