Найдите множество пар чисел a;b ,для каждой из которых равенство [tex]a(cosx-1)+b^2=cos(ax+b^2)-1[/tex] выполняется для всех x. Created by vityamath. algebra-ru

Ответ:(0;0); (1;0)Объяснение:Равенство выполнено для всех значений переменной, значит, оно верно и для x=0: Левая часть полученного уравнения не меньше 1, правая - не больше 1. Значит, уравнение равносильно системе Из 1ого уравнения получим , которое удовлетворяет и 2ому уравнению системы.Подставив в условие, получим:1) После подстановки получим - верно2) Равенство выполнено для всех значений переменной, значит, оно верно и для :Равенство выполнено для всех значений переменной, значит, оно верно и для : Но тогда, с учетом полученного выше условия, а может принимать значения 1 или -1:2.1) - верно2.2) - очевидно, равенство не тождественное. Значит,

tex] выполняется для всех x...

MrSolution

Ответ:

(0;0); (1;0)

Объяснение:

Равенство выполнено для всех значений переменной, значит, оно верно и для x=0:

$a(1-1)+b^2=cos(b^2)-1\Leftrightarrow b^2+1=cos(b^2)$

Левая часть полученного уравнения не меньше 1, правая - не больше 1. Значит, уравнение равносильно системе $\left\{\begin{array}{c}b^2+1=1\\cos(b^2)=1\end{array}\right.$

Из 1ого уравнения получим $b=0$ , которое удовлетворяет и 2ому уравнению системы.

Подставив в условие, получим:

$a(cosx-1)=cos(ax)-1$

1) $a=0$

После подстановки получим $0=1-1$ - верно

2) $a\neq 0$

Равенство выполнено для всех значений переменной, значит, оно верно и для $x=2\pi$ :

$a(1-1)=cos(2\pi a)-1\Leftrightarrow cos(2\pi a)=1\Leftrightarrow 2\pi a=2\pi n, n\in Z\Leftrightarrow a=n, n\in Z$

Равенство выполнено для всех значений переменной, значит, оно верно и для $x=\dfrac{2\pi}{a}$ :

$a(cos\dfrac{2\pi}{a}-1)=1-1\Leftrightarrow a(cos\dfrac{2\pi}{a}-1)=0\Leftrightarrow cos\dfrac{2\pi}{a}=1\Leftrightarrow \dfrac{2\pi}{a}=2\pi k, k\in Z\Leftrightarrow a=\dfrac{1}{k}, k\in Z$

Но тогда, с учетом полученного выше условия, а может принимать значения 1 или -1:

2.1) $a=1\Rightarrow cosx-1=cosx-1$ - верно

2.2) $a=-1\Rightarrow -cosx+1=cos(-x)-1\Leftrightarrow 2=2cosx$ - очевидно, равенство не тождественное. Значит, $a\neq -1$

4 votes Thanks 3

antonovm А вот я взял а = -1 , b = 0 ; тогда ваше первое уравнение будет таким : 2 = -2 и почему вы заранее считаете , что а > 0 ?

MrSolution a=-1 и b=0 не подходят же. Если a<0, то получим -2a+b^2>b^2 и тогда будет b^2=-2, что невозможно. Единственное, я проглядел a=0; b=0... Это добавлю сейчас.

antonovm у вас множество значений [ -2a ; 0 ] то есть вы заранее считаете , что а - положительно

MrSolution Ну так пусть будет [0; -2a]. Тогда будет b^2=-2. Тогда этот случай ничего не дает. Вы имеете в виду дописать это тоже в решение?

antonovm конечно а не может быть отрицательным , но это надо обосновать

antonovm правая часть - неположительна , значит неположительна и левая ; cosx - 1 < = 0 ну и так далее

MrSolution Поправил ответ. Такое обоснование правильное?

antonovm Да , только b = 0 - единственный корень уравнения ( то есть других при а = 0 нет ) , ну это я придираюсь . Сейчас всё обосновано . Вообще совпадение множества значений 2 функций - идея прекрасная !

MrSolution Спасибо :)

igorShap

Verified answer

Ответ:

(см. объяснение)

Объяснение:

$a(\cos x-1)+b^2=\cos(ax+b^2)-1$

Заметим, что множество значений правой части уравнения вне зависимости от параметров $a$ и $b$ будет от -2 до 0, кроме случая, когда $a=0$ , поэтому его нужно рассмотреть отдельно.

При $a=0$ :

$b^2=\cos b^2-1\\\cos b^2=b^2+1$

Наименьшее значение правой части будет равно $1$ и достигается, если $b=0$ . Наибольшее значение левой части будет равно $1$ и достигается в том числе, когда $b=0$ . Тогда $b=0$ корень уравнения. Так как в этом случае равенство верно для всех $x$ , то $a=0$ и $b=0$ являются ответом.

При $a\ne0$ :

Когда равенство выполняется при всех $x$ , графики левой и правой частей совпадают, то есть множество значений левой части уравнения тоже должно быть от -2 до 0.

Примем сначала, что $a>0$ :