Докажите классическое неравенство: [tex]\frac{2}{\frac{1}{a} +\frac{1}{b} } \leq \sqrt{ab}[/tex]. Created by vityamath. algebra-ru

tex]...

6575

Ответ:

Объяснение:

Для отрицательных a и b неравенство очевидно. Докажем для случая a,b>0:

$\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}} \leq \sqrt{ab};$

$\frac{2ab}{a+b} \leq \sqrt{ab};$

$\frac{a+b}{2ab}\geq \frac{1}{\sqrt{ab}};$

$a+b \geq 2\sqrt{ab};$

$a-2\sqrt{ab}+b\geq 0;$

$(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2\geq0.$

Последнее неравенство выполняется для любых неотрицательных a и b, что с учетом ОДЗ исходного неравенства говорит о том, что оно справедливо для любых положительных a и b, причем равенство достигается при a=b>0

0 votes Thanks 2

vityamath вау , спасибо

MrSolution

Ответ:

(см. объяснение)

Объяснение:

$\frac{2}{ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} } \leqslant \sqrt{ab} \\ 2 \leqslant \frac{ \sqrt{ab} }{a} + \frac{ \sqrt{ab} }{b} \\ 2 \leqslant \sqrt{ \frac{b}{a} } + \sqrt{ \frac{a}{b} } \\ \sqrt{ \frac{b}{a} } - 2+ \sqrt{ \frac{a}{b} } \geqslant 0$

Рассмотрим внимательно получившееся выражение: это формула сокращённого умножения: разность квадратов. Учитывая это, перепишем выражение:

$( \sqrt[4]{ \frac{b}{a} } - \sqrt[4]{ \frac{a}{b} } ) {}^{2} \geqslant 0$

Выражение в квадрате всегда не отрицательно, поэтому равенство выше всегда верно.

Доказано.

2 votes Thanks 0

Answers & Comments

tex]

01 64783e17012ff

tex]

reshite dannoe neravenstvo79d1e020e86cf046e34027c0a4cfb171 91313

reshite uravnenie09b3a3ba41733734fcd81cb661c5148e 83439

ucheniku skazali reshit neravenstvo x2gt0 poluchil takoe reshenie xgt0 v chem

reshite pozhalujsta zadachu 219

reshite pozhalujsta anglijskij vybrat vernyj otvet mr john is from ireland

tex]...

iz urny soderzhashej 5 pronumerovannyh sharov naugad vynimayut odin shar posle vyn

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social