Решите второе уравнение: [tex](5+\frac{3}{sin^2x} )(2-sin^6x)=7+cos2y[/tex]. Created by vityamath. algebra-ru

tex]...

igorShap

Verified answer

Ответ:

$x=\pm\dfrac{\pi}{2}+2\pi n, n\in Z;\;y=\pi k,k\in Z$

Объяснение:

1) $|sin(x)|\leq 1\Rightarrow sin^2(x)\leq 1\Rightarrow \dfrac{1}{sin^2(x)}\geq 1 \Rightarrow 5+\dfrac{3}{sin^2(x)}\geq 5+3=8$

2) $|sin(x)|\leq 1\Rightarrow sin^6(x)\leq 1\Rightarrow 2-sin^6(x)\geq 2-1=1$

Значит, левая часть уравнения не меньше $8*1=8$

3) $cos(2y)\leq 1\Rightarrow 7+cos(2y)\leq 7+1=8$

То есть правая часть не больше 8.

Но тогда уравнение равносильно системе

$\left\{\begin{array}{c}\left(5+\dfrac{3}{sin^2x}\right)\left(2-sin^6x\right)=8\;\;\;(1)\\ 7+cos2y=8\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2)\end{array}\right.$

В силу пунктов 1) и 2) уравнение (1) в свою очередь равносильно системе

$\left\{\begin{array}{c}5+\dfrac{3}{sin^2x}=8\\ 2-sin^6x=1\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c}\dfrac{1}{sin^2x}=1\\ sin^6x=1\end{array}\right. \Leftrightarrow sin^2x=1\Leftrightarrow sinx=\pm1 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow x=\pm\dfrac{\pi}{2}+2\pi n, n\in Z$