Ответ:

Тригонометрическая форма

[tex]\displaystyle 16\cdot \bigg (\cos \frac{5\pi }{6}+i \sin \frac{5\pi }{6} \bigg )[/tex]

[tex]\displaystyle z^n = z^5 = 2^{20}\cdot \bigg(\cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6}\bigg)[/tex]

[tex]\sqrt[3]{z}[/tex]  в результате даст три корня

[tex]\displaystyle z_1 =2\sqrt[3]{2}\cdot \bigg(\cos \frac{5\pi }{18} + i \cdot \sin \frac{5\pi }{18} \bigg)[/tex]

[tex]z_2 = \displaystyle2\sqrt[3]{2}\cdot \bigg(\cos \frac{17\pi }{18} + i \cdot \sin \frac{18\pi }{18} \bigg)[/tex]

[tex]z_3 =\displaystyle2\sqrt[3]{2}\cdot \bigg(\cos \frac{29\pi }{18} + i \cdot \sin \frac{29\pi }{18} \bigg)[/tex]

Пошаговое объяснение:

[tex]z = -8\sqrt{3} + 8i~, ~ n = 6 ~, ~ k = 3[/tex]

Данное комплексное число представить в тригонометрической форме. Вычислить  [tex]z^n[/tex]  и [tex]\sqrt[k]{z}[/tex]

Найдем модуль для  данного числа

[tex]r = |z| = \sqrt{(-8\sqrt{3} )^2 + 8^2} = \sqrt{4\cdot 64} = 16[/tex]

[tex]\displaystyle z = 16 \cdot \bigg ( -\frac{\sqrt{3} }{2} + \frac{1 }{2}i \bigg) = 16\cdot \bigg (\cos \frac{5\pi }{6}+i \sin \frac{5\pi }{6} \bigg )[/tex]

Теперь мы можем воспользоваться формулой Муавра :

[tex]z^n = \big ( r(\cos \varphi + i\sin \varphi ) \big )^n = r^n (\cos n \varphi + i \sin n \varphi )~ , ~ n \in \mathbb N[/tex]

[tex]\displaystyle z^5 =\Bigg ( 16\cdot \bigg (\cos \frac{5\pi }{6}+i \sin \frac{5\pi }{6} \bigg )\Bigg ) ^5 = 2^{20}\cdot \bigg (\cos \frac{25\pi }{6}+i \sin \frac{25\pi }{6} \bigg )\Bigg ) = \\\\\\\ = 2^{20}\cdot \bigg (\cos 4\frac{1 }{6}\pi +i \sin 4\frac{1 }{6}\pi \bigg )\Bigg ) = 2^{20}\cdot \bigg(\cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6}\bigg)[/tex]

С помощью формулы

[tex]\displaystyle \sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{r} \bigg(\cos \Big (\frac{\phi + 2\pi k}{n} \Big) + i \cdot \sin \Big(\frac{\phi +2\pi k}{n}\Big) \bigg)[/tex]
где  k  = 0 , 1 , 2 , ... , n -1

Найдем [tex]\sqrt[3]{z}[/tex]

[tex]\sqrt[3]{z} =\sqrt[3]{16}\displaystyle \bigg(\cos \Big (\frac{\frac{5\pi}{6} + 2\pi k}{3} \Big) + i \cdot \sin \Big(\frac{\frac{5\pi}{6} +2\pi k}{3}\Big) \bigg) =\\\\\\= 2\sqrt[3]{2} \displaystyle \bigg(\cos \Big (\frac{5\pi + 12\pi k}{18} \Big) + i \cdot \sin \Big (\frac{5\pi + 12\pi k}{18} \Big)\bigg)[/tex]

Подставляем  k = 0,1,2

[tex]z_1 = 2\sqrt[3]{2} \displaystyle \bigg(\cos \Big (\frac{5\pi + 12\pi \cdot 0 }{18} \Big) + i \cdot \sin \Big (\frac{5\pi + 12\pi \cdot 0 }{18} \Big)\bigg) = \\\\\\ =2\sqrt[3]{2}\cdot \bigg(\cos \frac{5\pi }{18} + i \cdot \sin \frac{5\pi }{18} \bigg)[/tex]

[tex]z_2 = 2\sqrt[3]{2} \displaystyle \bigg(\cos \Big (\frac{5\pi + 12\pi }{18} \Big) + i \cdot \sin \Big (\frac{5\pi + 12\pi }{18} \Big)\bigg) = \\\\\\ =2\sqrt[3]{2}\cdot \bigg(\cos \frac{17\pi }{18} + i \cdot \sin \frac{18\pi }{18} \bigg)[/tex]

[tex]z_3 = 2\sqrt[3]{2} \displaystyle \bigg(\cos \Big (\frac{5\pi + 12\pi\cdot 2 }{18} \Big) + i \cdot \sin \Big (\frac{5\pi + 12\pi \cdot 2 }{18} \Big)\bigg) = \\\\\\ =2\sqrt[3]{2}\cdot \bigg(\cos \frac{29\pi }{18} + i \cdot \sin \frac{29\pi }{18} \bigg)[/tex]