Ответ:

Интегрируем по частям.

[tex]\displaystyle \int \sqrt{x^2+4}\, dx=\Big[\ u=\sqrt{x^2+4}\ ,\ du=\frac{2x\, dx}{2\sqrt{x^2+4}}\ ,\ dv=dx\ ,\ v=x\ \Big]=\\\\\\=x\sqrt{x^2+4}-\int \frac{x^2\, dx}{\sqrt{x^2+4}}=x\sqrt{x^2+4}-\int \frac{(x^2+4)-4\, dx}{\sqrt{x^2+4}}=\\\\\\=x\sqrt{x^2+4}-\int \sqrt{x^2+4}\, dx+4\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+4}}=\\\\\\=x\sqrt{x^2+4}-\int \sqrt{x^2+4}\, dx+4\cdot ln\Big|\, x+\sqrt{x^2+4}\, \Big|+C_1\ ;[/tex]

Обратим внимание на то, что в правой части получили тот же интеграл, что и был задан , но со знаком минус . То есть интеграл свёлся к самому себе !  

[tex]\displaystyle \boxed{\int \sqrt{x^2+4}\, dx}=x\sqrt{x^2+4}-\boxed{\int \sqrt{x^2+4}\, dx}+4\cdot ln\Big|\, x+\sqrt{x^2+4}\, \Big|+C_1\ \ \Rightarrow \\\\\\2\cdot \int \sqrt{x^2+4}\, dx=x\sqrt{x^2+4}+4\cdot ln\Big|\, x+\sqrt{x^2+4}\, \Big|+C_1\\\\\\\boxed{\int \sqrt{x^2+4}\, dx=\frac{1}{2}\, x\sqrt{x^2+4}+2\cdot ln\Big|\, x+\sqrt{x^2+4}\, \Big|+C}[/tex]