Решение.

Интегрирование рациональных дробей    [tex]\displaystyle \int \frac{dx}{x\, (x-3)^2}[/tex]  .

Разложим рациональную дробь на сумму простейших дробей.

[tex]\displaystyle \frac{1}{x\, (x-3)^2}=\frac{A}{x}+\frac{B}{(x-3)^2}+\frac{C}{x-3}=\frac{A(x-3)^2+Bx+Cx(x-3)}{x\, (x-3)^2}[/tex]  

[tex]1=A(x-3)^2+Bx+Cx(x-3)\\\\0=A+C\\0=-6A+B-3C\\1=9A\ \ ,\ \ \ A=\dfrac{1}{9}\ \ ,\ \ C=-A=-\dfrac{1}{9}\ ,\ \ \ B=6A+3C=\dfrac{1}{3}[/tex]

[tex]\displaystyle \int \frac{dx}{x\, (x-3)^2}=\frac{1}{9}\int \frac{dx}{x}+\frac{1}{3}\int \frac{dx}{(x-3)^2}-\frac{1}{9}\int \frac{dx}{x-3}=\\\\\\=\frac{1}{9}\ ln|\, x\, |-\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{x-3}-\frac{1}{9}\, ln|x-3|+C[/tex]