Решение.

[tex]y=1-lnx\ ,\ \ x=1\ ,\ x=e\ ,\ y=0[/tex]

Точки пересечения.  [tex]1-lnx=0\ ,\ lnx=1\ ,\ x=e[/tex]  .

[tex]\displaystyle S=\int\limits^{e}_1(1-lnx)\, dx=\int\limits^{e}_1\, dx+\int\limits^{e}_1\, lnx\, dx=x\, \Big|_1^{e}+\Big[\ u=lnx\ ,\ du=\frac{dx}{x}\ ,\\\\\\dv=dx\ ,\ v=x\ ,\ \int u\, dv=uv-\int v\, du\ \Big]=(e-1)+x\cdot lnx\, \Big|_1^{e}-\int\limits^{e}_1\, x\cdot \frac{dx}{x}=\\\\\\=(e-1)+(e\cdot lne-1\cdot ln1)-x\, \Big|_1^{e}=(e-1)+(e\cdot 1-1\cdot 0)-(e-1)=e[/tex]

Ответ:  S=e .