Решение.

Показательное уравнение .

[tex]\bf 4^{x}-7\cdot 2^{x}+10\leq 0\ \ \Rightarrow \ \ \ (2^{x})^2-7\cdot 2^{x}+10\leq 0[/tex]  

Сделаем замену переменных :

[tex]\bf t=2^{x} > 0\ ,\ \ t^2-7t+10\leq 0\\\\t^2-7t+10=0\ \ \ \to \ \ \ t_1=2\ ,\ t_2=5[/tex]  (по теореме Виета)   ⇒

[tex]\bf (t-2)(t-5)\leq 0\ \ ,\ \ znaki:\ +++[\, 2\, ]---[\, 5\, ]+++\\\\t\in [\ 2\ ;\ 5\ ]\ \ ,\ \ \ 2\leq t\leq 5\ \ \ \Rightarrow \ \ \ 2\leq 2^{x}\leq 5\ \ ,\ \ \ 2^1\leq 2^{x}\leq 2^{log_25}\ ,\\\\1\leq x\leq log_25\ \ ,\ \ \ log_25\approx 2,3219[/tex]  

Ответ:  [tex]\boldsymbol{x\in [\ 1\ ;\ log_25\ ]}[/tex]  , сумма всех целых решений неравенства

равна   [tex]\bf 1+2=3[/tex] .