Объяснение:

в)

[tex]\displaystyle\\a_n=3^{n+1}(\frac{n+2}{n+3})^{n^2 }= 3*3^{n}(\frac{n+2}{n+3})^{n^2 }.\\\\\\ \lim_{n \to \infty} 3*3^n(\frac{n+2}{n+3})^{n^2}= 3* \lim_{n \to \infty} 3^n(\frac{n+2}{n+3})^{n^2}.\\\\\\[/tex]

Применяем радикальный признак Коши:

[tex]\displaystyle\\3* \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{3^n*(\frac{(n+2)}{(n+3)})^{n^2} } =3* \lim_{n \to \infty}3*(\frac{(n+2)}{(n+3)})^n=3*3* \lim_{n \to \infty}( \frac{n*(1+\frac{2}{n} )}{n*(1+\frac{3}{n}) } )^n=\\\\=9* \lim_{n \to \infty} (\frac{1+\frac{2}{n} }{1+\frac{3}{n} } )^{n}=9*(\frac{1+0}{1+0})^\infty} =9*1^{\infty}=9*1=9 > 1\ \ \ \ \Rightarrow\\\\[/tex]

                              Ответ: ряд расходится.

г)

[tex]\displaystyle\\a_n=\frac{1}{n*ln^2n} .\\\\[/tex]

[tex]\displaystyle\\ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n*ln^2n} .[/tex]

Применяем интегральный признак Коши:

[tex]\displaystyle\\\int\limits^{\infty}_1 {\frac{1}{x*lnx} } \, dx =\int\limits^{\infty}_1 {\frac{dx}{x*lnx} } =|{{lnx=u} \atop {du=\frac{dx}{x} }} \right.|=\int\frac{du}{u^2} =-\frac{1}{u} =-\frac{1}{lnx} \ |_1^{\infty} =\\\\=-(\frac{1}{ln\infty} -\frac{1}{0})=\infty-0=\infty > 1.\ \ \ \ \ \ \Rightarrow[/tex]

                            Ответ: ряд расходится.

Verified answer

Відповідь:

Пояснення:

ряды расходятся