Verified answer

Ответ:

Доказано требуемое.

Объяснение:

[tex]a_1=\dfrac{100}{1!}=100;\ a_2=\dfrac{100^2}{2!}=5000.[/tex]

Мы видим, что [tex]a_1 < a_2.[/tex] Та же закономерность (возрастание членов последовательности) будет и для следующих членов последовательности вплоть до [tex]a_{99}=\dfrac{100^{99}}{99!}.[/tex]  Но [tex]a_{100}=\dfrac{100^{100}}{100!}=\dfrac{100\cdot 100^{99}}{100\cdot 99!}=\dfrac{100^{99}}{99!}=a_{99},[/tex] а начиная со следующего номера будет убывание:

  [tex]a_{101}=\dfrac{100^{101}}{101!}=\dfrac{100\cdot 100^{100}}{101\cdot 100!}=\dfrac{100}{101}\cdot a_{100} < a_{100}.[/tex] Причем чем дальше, тем с большей скоростью. Начиная с 200-того номера убывание будет уже не менее чем в два раза:

  [tex]a_{200}=\dfrac{100^{200}}{200!}=\dfrac{100\cdot 100^{199}}{200\cdot 199!}=\dfrac{1}{2}\cdot a_{199};\ a_{201}=\dfrac{100}{201}a_{200} < \dfrac{1}{2}a_{200},[/tex]  и так далее. Поэтому при n>200 имеем

              [tex]a_n < \dfrac{1}{2}\cdot a_{n-1} < \dfrac{1}{2^2}\cdot a_{n-2} < \ldots < \dfrac{1}{2^{n-200}}\cdot a_{200}.[/tex]

Итак,                       [tex]0 < a_n < \dfrac{1}{2^{n-200}}\cdot a_{200}.[/tex]

Поскольку    [tex]\lim\limits_{n\to \infty}0=0;\ \lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{1}{2^{n-200}}\cdot a_{200}=0,[/tex] то по лемме о двух миллиционерах.           [tex]\lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{100^n}{n!}=0.[/tex]

Совет составителю задания: аккуратнее формулировать вопрос. Например, вместо "решить" лучше написать "доказать, что".