Ответ:

(см. объяснение)

Объяснение:

[tex]$\Large\int \dfrac{\mathrm{tg}\,x\;dx}{\sqrt{1+\mathrm{tg}^2\,x}}=\int \dfrac{\sin x\;dx}{\cos x\cdot\dfrac{1}{|\cos x|}}=-\int \dfrac{|\cos x|}{\cos x}\;d\cos x=-\mathrm{sgn}(\cos x)\cos x+C$[/tex]

Задание выполнено!

Verified answer

Ответ:

 [tex]-|\cos x|+C.[/tex]

Объяснение:

      [tex]\int\dfrac{{\rm tg}\ x}{\sqrt{1+{\rm tg}^2x}}\, dx=\int\dfrac{{\rm tg}\ x}{(1+{\rm tg}^2 x)^{3/2}\cos^2 x}\, dx=\int\dfrac{{\rm tg}\ x}{(1+{\rm tg}^2 x)^{3/2}}\, d\,{\rm tg}\ x=[/tex]

         [tex]=||{\rm tg}\ x=t||=\int\dfrac{t}{(1+t^2)^{3/2}}\, dt=\dfrac{1}{2}\int\dfrac{d(t^2+1)}{(1+t^2)^{3/2}}=||t^2+1=p||=[/tex]

           [tex]=\dfrac{1}{2}\int p^{-3/2}\, dp=\dfrac{1}{2}\dfrac{p^{-3/2+1}}{-3/2+1}+C=-p^{-1/2}+C=-\dfrac{1}{\sqrt{t^2+1}}+C=[/tex]

                    [tex]=-\dfrac{1}{\sqrt{{\rm tg}^2x+1}}+C=-\sqrt{\cos^2x}+C=-|\cos x|+C.[/tex]