Verified answer

Ответ:

Применим тригонометрическую подстановку . Получим интеграл от тригонометрических функций . Упрощаем подынтегральное выражение

[tex]\bf \displaystyle \int \frac{\sqrt{4-x^2}}{x^4}\, dx=\Big[\ x=2sint\ ,\ dx=2\, cost\, dt\ ,\ t=arcsin\frac{x}{2}\ \Big]=\\\\\\=\int \frac{\sqrt{4-4sin^2t}}{2^4\cdot sin^4t}\cdot 2\, cost\, dt=\int \frac{\sqrt{4(1-sin^2t)}}{2^3\cdot sin^4t}\, cost\, dt=\int \frac{\sqrt{4\, cos^2t}}{2^3\cdot sin^4t}\, cost\, dt=\\\\\\=\int \frac{2\cdot cost}{2^3\cdot sin^4t}\, cost\, dt=\frac{1}{2^2}\int \frac{cos^2t\, dt}{sin^4t}=\frac{1}{4}\int \frac{cos^2t}{sin^2t}\cdot \frac{dt}{sin^2t}=[/tex]

[tex]\bf \displaystyle =\frac{1}{4}\int ctg^2t\cdot d(-ctgt)=-\frac{1}{4}\cdot \frac{ctg^3t}{3}+C=-\frac{1}{12}\cdot ctg^3(arcsin\frac{x}{2})+C=\\\\\\=-\frac{1}{12}\cdot \Big(\frac{\sqrt{4-x^2}}{x}\Big)^3+C=-\frac{\sqrt{(4-x^2)^3}}{12\, x^3}+C[/tex]