Verified answer

Ответ:

Оба ряда сходятся (абсолютно).

Объяснение:

а) [tex]|a_n|=b_n=\sin\dfrac{\pi}{2^n}\sim c_n=\dfrac{\pi}{2^n}.[/tex]

Ряд  [tex]\sum\limits_{n=1}^{\infty} c_n[/tex]  сходится, так как это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия (её знаменатель равен 1/2<1). При желании можно воспользоваться признаком Даламбера или радикальным признаком Коши, но это всё равно как стрелять из пушки по воробьям. Например Даламбер приводит к такой выкладке:

   [tex]D=\lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{c_{n+1}}{c_n}=\lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{\pi/2^{n+1}}{\pi/2^n}=\lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2} < 1 \Rightarrow[/tex] ряд [tex]\sum\limits_{n=1}^{\infty}c_n[/tex] сходится. А тогда ряд [tex]\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_n[/tex] сходится по предельному признаку сходимости, что приводит к сходимости, причем абсолютной, исходного ряда.

б) [tex]|a_n|=b_n=\dfrac{|\sin(n\sqrt{n}|}{n\sqrt{n}}\le c_n=\dfrac{1}{n\sqrt{n}}=\dfrac{1}{n^{1,5}}.[/tex]

Ряд  [tex]\sum\limits_{n=1}^{\infty}c_n[/tex]  сходится, так как это ряд Дирихле, он же обобщённый гармонический ряд [tex]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^p}[/tex] с p=1,5>1, поэтому по признаку сравнения сходится ряд [tex]\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_n,[/tex]  а это означает абсолютную сходимость исходного ряда.